Геометрия

Основные понятия геометрии 7 класс

Первоначальные (основные) понятия геометрии — точка, прямая и плоскость: их не определяют, а описывают. Планиметрия изучает фигуры на плоскости, стереометрия — в пространстве. Обозначения, аксиомы.

Углы 7 класс: виды, измерение, свойства

Угол — фигура из двух лучей с общим началом. Виды углов: острый (< 90°), прямой (90°), тупой (> 90°), развёрнутый (180°). Измерение транспортиром, смежные и вертикальные углы, задачи.

Треугольники

Классификация треугольников. Сумма углов треугольника = 180°.

Признаки равенства треугольников

Три признака равенства треугольников (ССС, СУС, УСУ). Следствия.

Равнобедренный треугольник: стороны и свойства

Равнобедренный треугольник — треугольник с двумя равными сторонами; они называются боковыми, третья — основанием. Углы при основании равны; свойства, признаки и задачи для 7 класса.

Параллельные прямые 7 класс

Параллельные прямые — прямые на плоскости, которые не пересекаются. Признаки параллельности (по накрест лежащим, соответственным и односторонним углам), аксиома, свойства, задачи.

Четырёхугольники

Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат, трапеция. Свойства.

Окружность

Окружность и круг, хорда, диаметр, касательная. Взаимное расположение прямой и окружности.

Сумма углов треугольника

Теорема о сумме углов треугольника: почему она равна 180 градусам и как её применять в задачах.

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним, поэтому он больше каждого из них. Определение, доказательство, чертёж и задачи для 7 класса.

Медиана, биссектриса и высота треугольника

Три замечательные линии треугольника: их определения, свойства и отличия друг от друга.

Прямоугольный треугольник

Элементы прямоугольного треугольника, его свойства и признаки равенства прямоугольных треугольников.

Неравенство треугольника: условие существования

Неравенство треугольника: каждая сторона меньше суммы двух других — это условие существования треугольника. Доказательство теоремы, как проверить, примеры и задачи для 7 класса.

Перпендикуляр и наклонная

Расстояние от точки до прямой, перпендикуляр и наклонная, свойство перпендикуляра как кратчайшего отрезка.

Задачи на построение циркулем и линейкой

Основные построения: отрезок, угол, биссектриса, серединный перпендикуляр и перпендикуляр к прямой.

Смежные углы: определение и свойства

Смежные углы — это два угла с общей стороной, две другие стороны которых образуют прямую; сумма смежных углов равна 180°. Доказательство, свойства, чем отличаются от вертикальных, задачи 7 класса.

Вертикальные углы: определение и доказательство равенства

Вертикальные углы — это углы, стороны одного из которых являются продолжениями сторон другого; вертикальные углы равны. Доказательство теоремы, чертёж, отличие от смежных, задачи 7 класса.

Признаки параллельности прямых

Три признака параллельности двух прямых, пересечённых секущей: по накрест лежащим, односторонним и соответственным углам.

Аксиома параллельных прямых и следствия из неё

Аксиома параллельных прямых: через точку, не лежащую на прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной. Два следствия с доказательством, чертежи и задачи для 7 класса.

Свойства равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, а биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой. Доказательство теорем, признаки и задачи для 7 класса.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Четыре признака равенства прямоугольных треугольников, в том числе по гипотенузе и катету.

Расстояние между параллельными прямыми

Что считают расстоянием между двумя параллельными прямыми и почему оно одинаково во всех точках.

Какая прямая называется касательной к окружности

Касательная — прямая, имеющая с окружностью одну общую точку; она перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания. Свойства, признак, отрезки касательных, задачи для 7 класса.

Измерение отрезков и углов 7 класс

Основное свойство длины отрезка: если точка делит отрезок на два, его длина равна сумме длин частей. Единицы измерения, измерение углов транспортиром, градусная мера — 7 класс.

Какая ломаная называется многоугольником

Многоугольником называется замкнутая ломаная без самопересечений вместе с частью плоскости, которую она ограничивает. Вершины, стороны, диагонали, периметр, выпуклые многоугольники — 7 класс.

Чем отличается луч от отрезка и от прямой

Отрезок имеет два конца, луч — начало и не имеет конца, прямая бесконечна в обе стороны. Как сравнить два отрезка (наложением или измерением), обозначения и задания 7 класса.

Что такое полуплоскость

Полуплоскость — это часть плоскости, лежащая по одну сторону от прямой; сама прямая называется границей полуплоскости и принадлежит ей. У плоскости границ нет. Свойства и примеры 7 класса.

Что такое биссектриса угла и её свойства

Биссектриса угла — это луч, выходящий из вершины угла и делящий его пополам. Свойство: точки биссектрисы равноудалены от сторон угла. Как построить биссектрису, задачи для 7 класса.

Острый, прямой и тупой углы

Классификация углов по величине: острый, прямой, тупой и развёрнутый угол.

Перпендикулярные прямые

Когда две прямые перпендикулярны, признак и свойства перпендикулярных прямых на плоскости.

Накрест лежащие, односторонние и соответственные углы

При пересечении двух прямых секущей образуются накрест лежащие углы (равны при параллельных прямых), односторонние (в сумме 180°) и соответственные (равны). Чертёж, признаки параллельности.

Равносторонний треугольник: чему равны углы

В равностороннем треугольнике все стороны равны и все углы равны по 60°. Свойства, чем отличается от равнобедренного, формулы высоты и площади, задачи для 7 класса.

Что такое катет и гипотенуза

Гипотенуза — сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла; катеты — две другие стороны, образующие прямой угол. Гипотенуза всегда длиннее катета; свойства и задачи для 7 класса.

Свойство катета против угла 30 градусов

Катет, лежащий против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы — свойство и доказательство.

Диаметр и радиус окружности

Основные элементы окружности: радиус, диаметр, хорда и связь между ними.

Серединный перпендикуляр к отрезку

Серединный перпендикуляр, его свойство равноудалённости точек и построение циркулем и линейкой.

Расстояние от точки до прямой

Как измеряют расстояние от точки до прямой и почему его задаёт длина перпендикуляра.

Второй признак равенства треугольников

Равенство треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам: формулировка и применение.

Третий признак равенства треугольников

Равенство треугольников по трём сторонам: формулировка, доказательство и задачи.

Сумма острых углов прямоугольного треугольника

Почему два острых угла прямоугольного треугольника в сумме дают 90 градусов.

Окружность, описанная около треугольника

Центр описанной окружности как точка пересечения серединных перпендикуляров сторон.

Окружность, вписанная в треугольник

Центр вписанной окружности как точка пересечения биссектрис углов треугольника.

Построение треугольника по трём сторонам

Как циркулем и линейкой построить треугольник по заданным длинам трёх сторон.

Построение угла, равного данному

Алгоритм построения угла, равного заданному, с помощью циркуля и линейки.

Построение перпендикуляра к прямой

Как построить прямую, перпендикулярную данной и проходящую через заданную точку.

Деление отрезка пополам

Построение середины отрезка циркулем и линейкой через серединный перпендикуляр.

Соотношения между сторонами и углами треугольника

Против большей стороны лежит больший угол и наоборот: правило и его следствия.

Признак равнобедренного треугольника

Если два угла треугольника равны, то он равнобедренный: формулировка и применение.

Что такое хорда окружности

Хорда — это отрезок, соединяющий две точки окружности; самая длинная хорда — диаметр. Свойства хорд, отличие от радиуса и диаметра, чертёж и задачи для 7 класса.

Точка, прямая и плоскость

Основные геометрические фигуры, через которые строятся все остальные понятия планиметрии.

Взаимное расположение двух прямых на плоскости

Когда прямые пересекаются, совпадают или параллельны, и сколько у них общих точек.

Градусная мера угла

Как измеряют углы в градусах, минутах и секундах и какие бывают виды углов по величине.

Какие фигуры называются равными

Равными называются фигуры, которые совпадают при наложении. Как проверить равенство отрезков, углов и треугольников, свойства равных фигур, примеры и задания 7 класса.

Первый признак равенства треугольников

Равенство треугольников по двум сторонам и углу между ними и его применение в задачах.

Перпендикуляр, опущенный из точки на прямую

Единственность перпендикуляра из точки на прямую и его роль как кратчайшего расстояния.

Остроугольный треугольник и другие виды по углам

Остроугольный треугольник — тот, у которого все три угла острые; прямоугольный имеет прямой угол, тупоугольный — тупой. Как определить вид, может ли остроугольный быть равнобедренным, примеры.

Виды треугольников по сторонам

Разносторонний, равнобедренный и равносторонний треугольники и различия между ними.

Биссектрисы углов треугольника

Свойства биссектрис треугольника, точка их пересечения и связанные с ними углы.

Взаимное расположение двух окружностей

Когда окружности пересекаются, касаются или не имеют общих точек в зависимости от расстояния между центрами.

Что называют длиной ломаной и периметром

Длиной ломаной называют сумму длин всех её звеньев; периметр многоугольника — сумма длин всех его сторон. Формулы периметра треугольника, квадрата, прямоугольника, примеры 7 класса.

Осевая симметрия фигур

Симметрия относительно прямой, ось симметрии и примеры симметричных геометрических фигур.

Дополнительные лучи: какие два луча называют дополнительными

Дополнительные лучи — это два луча с общим началом, лежащие на одной прямой и направленные в разные стороны; каждый является продолжением другого. Определение, свойства, чертёж и задания 7 класса.

Сложение и вычитание отрезков

Как складывать и вычитать отрезки геометрически и как находить их части через равенство.

Внутренняя и внешняя область угла

Какие точки лежат внутри угла, а какие снаружи, и как это помогает в доказательствах.

Как сравнить два угла

Сравнить два угла можно наложением: равные углы совпадают при наложении, либо измерением транспортиром. Свойства равных углов, биссектриса, примеры и задания 7 класса.

Что такое теорема и доказательство

Из чего состоит теорема, чем условие отличается от заключения и как строится доказательство.

Аксиомы геометрии 7 класс: список

Аксиома — утверждение, принимаемое без доказательства. Основные аксиомы планиметрии: через две точки проходит единственная прямая, аксиома параллельных прямых и другие — полный список с пояснениями.

Обратная теорема

Как из теоремы получить обратную и почему обратное утверждение не всегда верно.

Чем признак отличается от свойства

Почему важно различать признак фигуры и её свойство и как не перепутать их в задаче.

Углы при пересечении двух прямых

Какие четыре угла образуются при пересечении прямых и как они связаны между собой.

Совпадение медианы, высоты и биссектрисы

Почему в равнобедренном треугольнике эти три линии, проведённые к основанию, совпадают.

Как выбрать признак равенства треугольников

По каким данным определить, какой из трёх признаков равенства применить в задаче.

Геометрическое место точек

Что такое геометрическое место точек и как описать множество точек с заданным свойством.

Окружность как геометрическое место точек

Почему окружность — это множество точек, равноудалённых от центра, и как это применяют.

Высоты остроугольного и тупоугольного треугольника

Где лежат основания высот в разных треугольниках и почему высота может выходить за фигуру.

Формулы площадей фигур 8 класс

Формулы площадей: прямоугольник S = ab, квадрат S = a², параллелограмм S = ah, треугольник S = ½ah, трапеция S = ½(a+b)h, ромб S = ½d₁d₂. Таблица всех формул с рисунками и примерами.

Теорема Пифагора

Формулировка теоремы, доказательство, обратная теорема, применение.

Подобные треугольники: отношение сторон и признаки

Подобные треугольники — треугольники с равными углами и пропорциональными сторонами; отношение сторон равно коэффициенту подобия k. Три признака подобия, отношение площадей k², задачи.

Синус, косинус и тангенс угла

Тригонометрия прямоугольного треугольника. Основное тригонометрическое тождество.

Вписанные и описанные окружности

Вписанная и описанная окружность треугольника, радиусы.

Средняя линия треугольника и трапеции

Средняя линия треугольника соединяет середины двух сторон, параллельна третьей и равна её половине; средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме. Доказательство, задачи.

Векторы 8 класс: противоположные и равные векторы

Вектор — направленный отрезок; противоположные векторы имеют равные длины и противоположные направления, равные — одинаковую длину и направление. Сложение, вычитание, умножение на число.

Метод координат

Координаты вектора, расстояние между точками, деление отрезка.

Ромб и его свойства

Ромб как параллелограмм с равными сторонами: диагонали, признаки и формулы площади.

Прямоугольник и квадрат

Особые параллелограммы: свойства диагоналей прямоугольника и квадрата, их признаки и площадь.

Трапеция и её виды

Что такое трапеция, равнобедренная и прямоугольная трапеции, их свойства и площадь.

Теорема Фалеса

Как параллельные прямые делят стороны угла на пропорциональные отрезки и зачем это нужно.

Касательная к окружности

Касательная и её перпендикулярность радиусу, признак касательной и равные отрезки касательных.

Центральные и вписанные углы

Центральный и вписанный углы, теорема о вписанном угле и угол, опирающийся на диаметр.

Неравенство треугольника

Почему сумма двух сторон треугольника всегда больше третьей и как это применять в задачах.

Параллелограмм и его свойства

Определение параллелограмма и его основные свойства: равенство сторон, углов и точка пересечения диагоналей.

Признаки параллелограмма

Три признака, по которым четырёхугольник является параллелограммом, и их применение в доказательствах.

Площадь параллелограмма

Формула площади параллелограмма через сторону и высоту и через две стороны с углом между ними.

Площадь треугольника

Формулы площади треугольника: через основание и высоту, через две стороны и угол, формула Герона.

Площадь трапеции

Вывод и применение формулы площади трапеции через полусумму оснований и высоту.

Признаки подобия треугольников

Три признака подобия треугольников и их использование для нахождения неизвестных сторон.

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Высота, проведённая к гипотенузе, и пропорциональные отрезки: среднее геометрическое в прямоугольном треугольнике.

Свойство биссектрисы треугольника

Биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

Четыре замечательные точки треугольника

Точки пересечения биссектрис, серединных перпендикуляров, высот и медиан треугольника.

Решение прямоугольных треугольников

Нахождение всех сторон и углов прямоугольного треугольника по двум известным элементам.

Сумма углов многоугольника

Формула суммы внутренних и внешних углов выпуклого многоугольника и её применение.

Осевая и центральная симметрия

Виды симметрии фигур, оси и центр симметрии, построение симметричных точек.

Теорема, обратная теореме Пифагора

Как по сторонам определить, является ли треугольник прямоугольным.

Пифагоровы тройки

Натуральные тройки сторон прямоугольного треугольника и способы их получения.

Площадь ромба

Вычисление площади ромба через диагонали, сторону и высоту.

Площадь четырёхугольника через диагонали

Формула площади четырёхугольника с перпендикулярными диагоналями.

Отношение площадей подобных фигур

Связь коэффициента подобия с отношением площадей подобных фигур.

Среднее пропорциональное (геометрическое)

Понятие среднего пропорционального и его геометрический смысл в прямоугольном треугольнике.

Основное тригонометрическое тождество

Связь синуса и косинуса одного угла и значения функций для углов 30, 45, 60 градусов.

Длина окружности и площадь круга

Число пи, формулы длины окружности и площади круга, сектор и его площадь.

Взаимное расположение двух окружностей

Случаи касания и пересечения окружностей в зависимости от расстояния между центрами.

Градусная мера дуги окружности

Как измеряются дуги окружности и связь дуги с центральным углом.

Ортоцентр треугольника

Точка пересечения высот треугольника: где она лежит в остроугольном, прямоугольном и тупоугольном треугольнике.

Свойство медиан и центроид

Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины.

Формула Герона

Площадь треугольника по трём сторонам через полупериметр — формула Герона и её применение.

Площадь треугольника через синус угла

Площадь треугольника равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними: S = ½ · a · b · sin α. Вывод формулы, таблица синусов, примеры решения задач для 8 класса.

Высота прямоугольного треугольника к гипотенузе

Как найти высоту, опущенную из прямого угла на гипотенузу, через катеты и гипотенузу.

Катет, лежащий против угла в 30 градусов

Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Доказательство теоремы, обратное утверждение, чертёж и примеры решения задач для 8 класса.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр

Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, всегда прямой — теорема и её следствия.

Свойство пересекающихся хорд

Произведения отрезков двух пересекающихся хорд равны — теорема о хордах и её применение.

Свойство описанного четырёхугольника

В четырёхугольник можно вписать окружность тогда, когда суммы противоположных сторон равны.

Свойство вписанного четырёхугольника

У четырёхугольника, вписанного в окружность, суммы противоположных углов равны 180 градусам.

Касательная и секущая из одной точки

Квадрат касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть.

Построения циркулем и линейкой

Основные геометрические построения: середина отрезка, биссектриса угла, перпендикуляр.

Площадь прямоугольного треугольника

Как находить площадь прямоугольного треугольника через катеты и через гипотенузу с высотой.

Свойство диагоналей прямоугольника

Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам — доказательство и применение.

Перпендикуляр и наклонная

Расстояние от точки до прямой, сравнение перпендикуляра и наклонных, проекция наклонной.

Тангенс острого угла

Определение тангенса как отношения противолежащего катета к прилежащему и связь с синусом и косинусом.

Значения синуса, косинуса и тангенса для 30, 45 и 60 градусов

Таблица точных значений тригонометрических функций для углов 30, 45 и 60 градусов.

Вписанная окружность треугольника и её радиус

Центр вписанной окружности, формула радиуса через площадь и полупериметр.

Описанная окружность треугольника и её радиус

Центр описанной окружности, радиус для прямоугольного треугольника и связь со сторонами.

Коэффициент подобия фигур

Что такое коэффициент подобия, как через него связаны стороны, периметры и площади подобных фигур.

Свойства равнобедренной трапеции

Равнобедренная трапеция — трапеция с равными боковыми сторонами; углы при каждом основании равны, диагонали равны. Свойства с доказательством, признаки, формулы и задачи 8 класса.

Сумма внешних углов выпуклого многоугольника

Почему сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника равна 360 градусам.

Правильный многоугольник и его углы

Определение правильного многоугольника, формулы для внутреннего угла и числа сторон.

Расстояние между двумя точками на координатной плоскости

Формула расстояния между точками через их координаты и середина отрезка.

Косинус острого угла

Косинус острого угла прямоугольного треугольника как отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Синус острого угла

Синус острого угла как отношение противолежащего катета к гипотенузе и его применение.

Диагонали ромба: свойства

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам; они не равны между собой, но делятся точкой пересечения пополам. Доказательство, формула площади через диагонали, задачи.

Аксиома параллельных прямых

Через точку вне прямой проходит ровно одна прямая, параллельная данной, и следствия из этого.

Свойство внешнего угла треугольника

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним, и больше каждого из них. Определение, доказательство, чертёж и задачи для 8 класса.

Площадь многоугольника через разбиение

Вычисление площади произвольного многоугольника разбиением на треугольники и прямоугольники.

Подобие многоугольников

Подобные многоугольники: равные углы и пропорциональные стороны, коэффициент подобия.

Угловой коэффициент прямой

Угловой коэффициент прямой на координатной плоскости и его связь с тангенсом угла наклона.

Уравнение окружности

Уравнение окружности с центром в заданной точке и радиусом на координатной плоскости.

Уравнение прямой

Уравнение прямой на координатной плоскости и его частные виды.

Отношение периметров подобных фигур

Периметры подобных фигур относятся как коэффициент подобия — правило и примеры.

Радиус вписанной окружности через площадь

Формула радиуса вписанной в треугольник окружности через площадь и полупериметр.

Прямоугольная трапеция: свойства

Прямоугольная трапеция — трапеция, у которой одна боковая сторона перпендикулярна основаниям; два её угла прямые, высота равна этой боковой стороне. Свойства, формулы площади, задачи 8 класса.

Деление отрезка пополам циркулем

Построение середины отрезка и серединного перпендикуляра циркулем и линейкой.

Формула Пика: площадь по узлам целочисленной решётки

Формула Пика позволяет найти площадь простого многоугольника, вершины которого лежат в узлах единичной квадратной решётки. Если I — число узлов строго внутри, а B — число узлов на

Теоремы синусов и косинусов

Теорема синусов, теорема косинусов. Решение произвольных треугольников.

Правильные многоугольники

Правильный многоугольник, радиус вписанной и описанной окружностей.

Длина окружности и площадь круга

Число π, формулы длины окружности и площади круга, кругового сектора.

Движения в геометрии

Осевая и центральная симметрия, поворот, параллельный перенос.

Преобразование подобия

Гомотетия, свойства. Связь с подобием фигур.

Векторный метод

Применение векторов для доказательства геометрических утверждений.

Метод координат на плоскости

Координаты точки и вектора, формулы расстояния и середины отрезка, решение задач координатным способом.

Скалярное произведение векторов

Определение скалярного произведения, его свойства и применение для нахождения угла между векторами.

Уравнение окружности

Вывод уравнения окружности через центр и радиус, распознавание окружности по уравнению.

Уравнение прямой

Общее уравнение прямой и уравнение с угловым коэффициентом, условия параллельности и перпендикулярности.

Площадь треугольника через две стороны и синус угла

Формула площади через стороны и синус угла между ними, связь с формулами площади и высотой.

Вписанные и центральные углы

Теорема о вписанном угле, связь центрального и вписанного углов, углы, опирающиеся на диаметр.

Начальные сведения из стереометрии

Многогранники и тела вращения, формулы объёма призмы, цилиндра, конуса и шара.

Решение треугольников

Как найти все стороны и углы треугольника по трём данным элементам с помощью теорем синусов и косинусов.

Площадь многоугольника по координатам вершин

Формула площади треугольника и многоугольника, заданного координатами вершин на плоскости.

Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

Как выразить любой вектор плоскости через два базисных вектора и зачем это нужно.

Угол между векторами

Вычисление угла между векторами через скалярное произведение и условие перпендикулярности.

Сектор и сегмент круга: в чём разница, формулы площади

Сектор — часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой; сегмент — часть круга, отсечённая хордой. Формулы площади сектора S = πR²α/360° и сегмента, примеры решения задач для 9 класса.

Вписанная и описанная окружности многоугольника

Радиусы окружностей, вписанных в правильный многоугольник и описанных около него.

Поворот и осевая симметрия как движения

Построение образов фигур при повороте вокруг точки и симметрии относительно прямой.

Гомотетия и центральное подобие

Преобразование гомотетии, его коэффициент и свойства, связь с подобием фигур.

Средняя линия треугольника и трапеции

Свойства средней линии треугольника и трапеции, их применение к вычислению длин.

Объёмы шара, цилиндра и конуса (начальные сведения)

Первое знакомство с формулами объёма тел вращения в курсе стереометрии 9 класса.

Касательная к окружности и её свойства

Что такое касательная, почему она перпендикулярна радиусу и как находить отрезки касательных из одной точки.

Свойства хорд окружности

Связь хорды, диаметра и расстояния до центра, равные хорды и перпендикуляр из центра к хорде.

Теорема об отрезках пересекающихся хорд

Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой: AE · EB = CE · ED. Доказательство через подобные треугольники, задачи для 9 класса.

Угол между касательной и хордой

Угол между касательной и хордой равен половине дуги, заключённой внутри него.

Расстояние между двумя точками на координатной плоскости

Формула расстояния как следствие теоремы Пифагора и её применение к задачам.

Координаты середины отрезка

Как найти середину отрезка по координатам концов и где это используется.

Сложение и вычитание векторов

Правила треугольника, параллелограмма и многоугольника, вычитание векторов и их свойства.

Умножение вектора на число

Как меняется длина и направление вектора при умножении на число, условие коллинеарности.

Признаки подобия треугольников

Три признака подобия треугольников и их применение для нахождения сторон и углов.

Радианная мера угла

Что такое радиан, перевод между градусами и радианами и связь с длиной дуги.

Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике

Метрические соотношения: высота к гипотенузе — среднее пропорциональное проекций катетов (h² = a_c · b_c), катет — среднее пропорциональное гипотенузы и своей проекции. Доказательство, задачи.

Касающиеся окружности

Внешнее и внутреннее касание окружностей и связь между расстоянием центров и радиусами.

Формула Герона

Как найти площадь треугольника по трём сторонам через полупериметр без высоты и углов.

Площадь трапеции

Вывод и применение формулы площади трапеции через основания и высоту.

Площадь правильного многоугольника через радиусы

Формулы площади правильного многоугольника через радиус вписанной и описанной окружностей.

Свойство биссектрисы треугольника

Биссектриса делит противоположную сторону пропорционально прилежащим сторонам.

Длина медианы и теорема Стюарта

Как вычислить длину медианы треугольника по трём его сторонам.

Площадь четырёхугольника по диагоналям

Формула площади четырёхугольника через диагонали и угол между ними.

Вписанный четырёхугольник

Признак и свойство суммы противоположных углов вписанного четырёхугольника.

Описанный четырёхугольник

Свойство равенства сумм противоположных сторон описанного четырёхугольника.

Степень точки относительно окружности

Единый взгляд на теоремы о хордах, секущих и касательной через степень точки.

Геометрическое место точек

Понятие ГМТ и основные множества: серединный перпендикуляр, биссектриса, окружность.

Уравнение прямой по двум точкам

Как составить уравнение прямой, проходящей через две заданные точки плоскости.

Угловой коэффициент и условие параллельности прямых

Смысл углового коэффициента и условия параллельности и перпендикулярности прямых.

Изогональное сопряжение: отражение прямых относительно биссектрис

Две прямые через вершину угла называют изогональными, если они симметричны относительно его биссектрисы. Точки P и Q изогонально сопряжены относительно треугольника ABC, когда пары

Лемма о трезубце: середина дуги и центр вписанной окружности

Пусть биссектриса угла A треугольника ABC пересекает его описанную окружность второй раз в точке D. Если I — центр вписанной окружности, то DB=DC=DI. Точка D является серединой дуг

Ортотреугольник: основания высот и новые окружности

Ортотреугольником называют треугольник, образованный основаниями трёх высот исходного треугольника. Для первого разбора возьмём остроугольный ABC: основания D,E,F лежат соответстве

Аксиомы стереометрии 10 класс

Аксиомы стереометрии: через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость; если две точки прямой лежат в плоскости, то вся прямая лежит в ней; две плоскости пересекаются по прямой.

Параллельность в пространстве

Параллельные прямые и плоскости, скрещивающиеся прямые.

Перпендикулярность

Перпендикуляр к плоскости, угол прямой с плоскостью, двугранный угол.

Многогранники

Призма, параллелепипед, пирамида. Развёртки, поверхности и объёмы.

Тела вращения

Цилиндр, конус, шар. Площади поверхностей и объёмы.

Векторы в пространстве

Понятие вектора в пространстве, действия над векторами, компланарность и разложение по трём некомпланарным векторам.

Прямоугольные координаты в пространстве

Декартова система координат в пространстве, координаты точки и вектора, формулы длины, середины и расстояния.

Угол между прямой и плоскостью

Определение угла между наклонной прямой и плоскостью через проекцию и способы его вычисления.

Расстояние от точки до плоскости

Перпендикуляр и наклонная, понятие расстояния от точки до плоскости и до прямой в пространстве.

Призма и её свойства

Прямая и наклонная призма, элементы призмы, формулы площади боковой и полной поверхности.

Пирамида и её свойства

Виды пирамид, правильная пирамида, апофема, площадь боковой и полной поверхности пирамиды.

Сечения многогранников плоскостью

Построение сечений призмы и пирамиды секущей плоскостью методом следов и методом внутреннего проектирования.

Параллельность прямой и плоскости

Признак и свойства параллельности прямой и плоскости в пространстве с разбором доказательства.

Параллельность двух плоскостей

Признак параллельности плоскостей и свойства параллельных плоскостей в стереометрии.

Теорема о трёх перпендикулярах

Прямая и обратная теорема о трёх перпендикулярах и её применение к решению задач.

Двугранный угол

Понятие двугранного угла, его линейный угол и способы измерения в пространстве.

Угол между скрещивающимися прямыми

Определение и нахождение угла между скрещивающимися прямыми через параллельный перенос.

Площадь ортогональной проекции многоугольника

Теорема о площади ортогональной проекции многоугольника на плоскость и её применение.

Параллелепипед и его свойства

Прямой, наклонный и прямоугольный параллелепипед: свойства граней, рёбер и диагоналей.

Правильные многогранники

Пять правильных многогранников (тела Платона): их строение, свойства и формула Эйлера.

Скрещивающиеся прямые: определение и признак

Скрещивающиеся прямые — прямые, которые не лежат в одной плоскости и не пересекаются. Признак скрещивающихся прямых, угол между ними, отличие от параллельных, задачи для 10 класса.

Симметрия в пространстве

Центральная, осевая и зеркальная симметрия в пространстве и симметрия многогранников.

Взаимное расположение прямых в пространстве

Три случая расположения двух прямых: пересекающиеся, параллельные и скрещивающиеся.

Взаимное расположение прямой и плоскости

Когда прямая лежит в плоскости, параллельна ей или пересекает её в одной точке.

Взаимное расположение двух плоскостей

Две плоскости либо пересекаются по прямой, либо параллельны друг другу.

Перпендикулярность прямой и плоскости

Признак перпендикулярности прямой и плоскости и его применение в задачах.

Перпендикулярность двух плоскостей

Признак перпендикулярности плоскостей через прямой двугранный угол.

Наклонная и её проекция

Перпендикуляр, наклонная и её проекция на плоскость, сравнение их длин.

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Длина общего перпендикуляра как кратчайшее расстояние между скрещивающимися прямыми.

Площадь поверхности призмы: формулы

Площадь полной поверхности призмы равна сумме площади боковой поверхности и двух оснований: S = S_бок + 2S_осн; для прямой призмы S_бок = P_осн · h. Примеры решения задач для 10 класса.

Площадь поверхности пирамиды

Боковая и полная поверхность пирамиды, роль апофемы у правильной пирамиды.

Усечённая пирамида

Усечённая пирамида: её элементы, свойства оснований и площадь поверхности.

Построение сечений методом следов

Метод следов для построения сечений многогранников плоскостью.

Тетраэдр: сколько рёбер, граней и вершин

У тетраэдра 4 грани, 6 рёбер и 4 вершины; все грани — треугольники. Правильный тетраэдр, медианы и центроид, формулы объёма и площади поверхности, задачи для 10 класса.

Координаты в пространстве: система координат

Положение точки в пространстве задают тремя координатами (x; y; z) относительно трёх взаимно перпендикулярных осей. Координаты вектора, расстояние между точками, середина отрезка — формулы.

Векторы в пространстве

Координаты вектора, скалярное произведение, угол между векторами.

Уравнение плоскости

Общее уравнение плоскости, нормальный вектор, расстояние от точки до плоскости.

Правильные многогранники

Платоновы тела: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.

Сечения многогранников

Построение сечений, сечения плоскостями, параллельными граням.

Объём призмы и параллелепипеда

Как вычислять объём прямой и наклонной призмы, прямоугольного параллелепипеда и куба через площадь основания и высоту.

Объём пирамиды и усечённой пирамиды

Формула одной трети произведения площади основания на высоту и объём усечённой пирамиды для задач стереометрии.

Цилиндр: площадь поверхности и объём

Прямой круговой цилиндр, его осевое сечение, боковая и полная поверхность, формула объёма в задачах ЕГЭ.

Конус и усечённый конус

Образующая, осевое сечение, развёртка, площадь поверхности и объём конуса и усечённого конуса.

Шар и сфера: площадь поверхности и объём

Сфера как поверхность, шар как тело, формулы площади сферы и объёма шара, сечения и касательная плоскость.

Угол между прямой и плоскостью

Определение угла через проекцию наклонной, теорема о трёх перпендикулярах и приёмы вычисления в координатах.

Двугранный угол и угол между плоскостями

Линейный угол двугранного угла, угол между плоскостями и способы его нахождения, в том числе через нормали.

Касательная плоскость к сфере

Признак касательной плоскости к сфере, её свойства и решение задач на расстояние от центра до плоскости.

Сфера, вписанная в многогранник

Условие существования вписанной сферы и формула её радиуса через объём и площадь поверхности многогранника.

Сфера, описанная около многогранника

Положение центра описанной сферы, его построение для призмы и пирамиды и вычисление радиуса.

Комбинация цилиндра и сферы

Сфера, вписанная в цилиндр и описанная около него: связь радиусов, высоты и нахождение объёмов.

Комбинация конуса и сферы

Вписанная и описанная сферы для конуса: осевое сечение, формулы радиусов и отношение объёмов.

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Понятие общего перпендикуляра и методы нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми в пространстве.

Площадь ортогональной проекции многоугольника

Теорема о площади проекции плоской фигуры и её применение к нахождению площадей сечений.

Теорема Эйлера для многогранников

Соотношение между числом вершин, рёбер и граней выпуклого многогранника и его применение.

Площадь поверхности призмы и параллелепипеда

Формулы боковой и полной поверхности прямой и наклонной призмы, разбор типовых задач.

Координатный метод в задачах стереометрии

Применение прямоугольных координат для вычисления расстояний, углов и объёмов пространственных тел.

Наклонная призма: объём и площадь

Наклонная призма — призма, боковые рёбра которой не перпендикулярны основанию. Объём V = S_осн · h (высота, не ребро); площадь боковой поверхности — периметр перпендикулярного сечения на ребро.

Шаровой сегмент, слой и сектор

Определения частей шара и формулы объёмов шарового сегмента, слоя и сектора.

Подобие тел и отношение объёмов

Как при подобии пространственных фигур меняются длины, площади и объёмы.

Симметрия в пространстве

Центральная, осевая и зеркальная симметрия пространственных фигур и их элементы.

Развёртки многогранников и тел вращения

Построение развёрток призмы, пирамиды, цилиндра и конуса и расчёт длин по развёртке.

Тетраэдр и его свойства

Медианы, центр тяжести и объём тетраэдра, связь рёбер и граней.

Параллельное проектирование

Свойства параллельного проектирования и изображение пространственных фигур на плоскости.

Тела вращения: получение и объём

Как фигуры образуют тела вращения и как считать их объём и площадь поверхности.

Площадь сферического пояса и сегмента

Формула площади поверхности шарового сегмента и пояса через высоту и радиус.

Угол между скрещивающимися прямыми

Определение и способы нахождения угла между скрещивающимися прямыми в пространстве.

Призматические и пирамидальные поверхности

Образование многогранных поверхностей и классификация выпуклых многогранников.

Расстояние от точки до плоскости

Определение и методы вычисления расстояния от точки до плоскости в пространстве.