Геометрия · 8 класс

Формулы площадей фигур 8 класс

Формулы площадей: прямоугольник S = ab, квадрат S = a², параллелограмм S = ah, треугольник S = ½ah, трапеция S = ½(a+b)h, ромб S = ½d₁d₂. Таблица всех формул с рисунками и примерами.

Теорема Пифагора

Формулировка теоремы, доказательство, обратная теорема, применение.

Подобные треугольники: отношение сторон и признаки

Подобные треугольники — треугольники с равными углами и пропорциональными сторонами; отношение сторон равно коэффициенту подобия k. Три признака подобия, отношение площадей k², задачи.

Синус, косинус и тангенс угла

Тригонометрия прямоугольного треугольника. Основное тригонометрическое тождество.

Вписанные и описанные окружности

Вписанная и описанная окружность треугольника, радиусы.

Средняя линия треугольника и трапеции

Средняя линия треугольника соединяет середины двух сторон, параллельна третьей и равна её половине; средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме. Доказательство, задачи.

Векторы 8 класс: противоположные и равные векторы

Вектор — направленный отрезок; противоположные векторы имеют равные длины и противоположные направления, равные — одинаковую длину и направление. Сложение, вычитание, умножение на число.

Метод координат

Координаты вектора, расстояние между точками, деление отрезка.

Ромб и его свойства

Ромб как параллелограмм с равными сторонами: диагонали, признаки и формулы площади.

Прямоугольник и квадрат

Особые параллелограммы: свойства диагоналей прямоугольника и квадрата, их признаки и площадь.

Трапеция и её виды

Что такое трапеция, равнобедренная и прямоугольная трапеции, их свойства и площадь.

Теорема Фалеса

Как параллельные прямые делят стороны угла на пропорциональные отрезки и зачем это нужно.

Касательная к окружности

Касательная и её перпендикулярность радиусу, признак касательной и равные отрезки касательных.

Центральные и вписанные углы

Центральный и вписанный углы, теорема о вписанном угле и угол, опирающийся на диаметр.

Неравенство треугольника

Почему сумма двух сторон треугольника всегда больше третьей и как это применять в задачах.

Параллелограмм и его свойства

Определение параллелограмма и его основные свойства: равенство сторон, углов и точка пересечения диагоналей.

Признаки параллелограмма

Три признака, по которым четырёхугольник является параллелограммом, и их применение в доказательствах.

Площадь параллелограмма

Формула площади параллелограмма через сторону и высоту и через две стороны с углом между ними.

Площадь треугольника

Формулы площади треугольника: через основание и высоту, через две стороны и угол, формула Герона.

Площадь трапеции

Вывод и применение формулы площади трапеции через полусумму оснований и высоту.

Признаки подобия треугольников

Три признака подобия треугольников и их использование для нахождения неизвестных сторон.

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Высота, проведённая к гипотенузе, и пропорциональные отрезки: среднее геометрическое в прямоугольном треугольнике.

Свойство биссектрисы треугольника

Биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

Четыре замечательные точки треугольника

Точки пересечения биссектрис, серединных перпендикуляров, высот и медиан треугольника.

Решение прямоугольных треугольников

Нахождение всех сторон и углов прямоугольного треугольника по двум известным элементам.

Сумма углов многоугольника

Формула суммы внутренних и внешних углов выпуклого многоугольника и её применение.

Осевая и центральная симметрия

Виды симметрии фигур, оси и центр симметрии, построение симметричных точек.

Теорема, обратная теореме Пифагора

Как по сторонам определить, является ли треугольник прямоугольным.

Пифагоровы тройки

Натуральные тройки сторон прямоугольного треугольника и способы их получения.

Площадь ромба

Вычисление площади ромба через диагонали, сторону и высоту.

Площадь четырёхугольника через диагонали

Формула площади четырёхугольника с перпендикулярными диагоналями.

Отношение площадей подобных фигур

Связь коэффициента подобия с отношением площадей подобных фигур.

Среднее пропорциональное (геометрическое)

Понятие среднего пропорционального и его геометрический смысл в прямоугольном треугольнике.

Основное тригонометрическое тождество

Связь синуса и косинуса одного угла и значения функций для углов 30, 45, 60 градусов.

Длина окружности и площадь круга

Число пи, формулы длины окружности и площади круга, сектор и его площадь.

Взаимное расположение двух окружностей

Случаи касания и пересечения окружностей в зависимости от расстояния между центрами.

Градусная мера дуги окружности

Как измеряются дуги окружности и связь дуги с центральным углом.

Ортоцентр треугольника

Точка пересечения высот треугольника: где она лежит в остроугольном, прямоугольном и тупоугольном треугольнике.

Свойство медиан и центроид

Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины.

Формула Герона

Площадь треугольника по трём сторонам через полупериметр — формула Герона и её применение.

Площадь треугольника через синус угла

Площадь треугольника равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними: S = ½ · a · b · sin α. Вывод формулы, таблица синусов, примеры решения задач для 8 класса.

Высота прямоугольного треугольника к гипотенузе

Как найти высоту, опущенную из прямого угла на гипотенузу, через катеты и гипотенузу.

Катет, лежащий против угла в 30 градусов

Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Доказательство теоремы, обратное утверждение, чертёж и примеры решения задач для 8 класса.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр

Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, всегда прямой — теорема и её следствия.

Свойство пересекающихся хорд

Произведения отрезков двух пересекающихся хорд равны — теорема о хордах и её применение.

Свойство описанного четырёхугольника

В четырёхугольник можно вписать окружность тогда, когда суммы противоположных сторон равны.

Свойство вписанного четырёхугольника

У четырёхугольника, вписанного в окружность, суммы противоположных углов равны 180 градусам.

Касательная и секущая из одной точки

Квадрат касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть.

Построения циркулем и линейкой

Основные геометрические построения: середина отрезка, биссектриса угла, перпендикуляр.

Площадь прямоугольного треугольника

Как находить площадь прямоугольного треугольника через катеты и через гипотенузу с высотой.

Свойство диагоналей прямоугольника

Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам — доказательство и применение.

Перпендикуляр и наклонная

Расстояние от точки до прямой, сравнение перпендикуляра и наклонных, проекция наклонной.

Тангенс острого угла

Определение тангенса как отношения противолежащего катета к прилежащему и связь с синусом и косинусом.

Значения синуса, косинуса и тангенса для 30, 45 и 60 градусов

Таблица точных значений тригонометрических функций для углов 30, 45 и 60 градусов.

Вписанная окружность треугольника и её радиус

Центр вписанной окружности, формула радиуса через площадь и полупериметр.

Описанная окружность треугольника и её радиус

Центр описанной окружности, радиус для прямоугольного треугольника и связь со сторонами.

Коэффициент подобия фигур

Что такое коэффициент подобия, как через него связаны стороны, периметры и площади подобных фигур.

Свойства равнобедренной трапеции

Равнобедренная трапеция — трапеция с равными боковыми сторонами; углы при каждом основании равны, диагонали равны. Свойства с доказательством, признаки, формулы и задачи 8 класса.

Сумма внешних углов выпуклого многоугольника

Почему сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника равна 360 градусам.

Правильный многоугольник и его углы

Определение правильного многоугольника, формулы для внутреннего угла и числа сторон.

Расстояние между двумя точками на координатной плоскости

Формула расстояния между точками через их координаты и середина отрезка.

Косинус острого угла

Косинус острого угла прямоугольного треугольника как отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Синус острого угла

Синус острого угла как отношение противолежащего катета к гипотенузе и его применение.

Диагонали ромба: свойства

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам; они не равны между собой, но делятся точкой пересечения пополам. Доказательство, формула площади через диагонали, задачи.

Аксиома параллельных прямых

Через точку вне прямой проходит ровно одна прямая, параллельная данной, и следствия из этого.

Свойство внешнего угла треугольника

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним, и больше каждого из них. Определение, доказательство, чертёж и задачи для 8 класса.

Площадь многоугольника через разбиение

Вычисление площади произвольного многоугольника разбиением на треугольники и прямоугольники.

Подобие многоугольников

Подобные многоугольники: равные углы и пропорциональные стороны, коэффициент подобия.

Угловой коэффициент прямой

Угловой коэффициент прямой на координатной плоскости и его связь с тангенсом угла наклона.

Уравнение окружности

Уравнение окружности с центром в заданной точке и радиусом на координатной плоскости.

Уравнение прямой

Уравнение прямой на координатной плоскости и его частные виды.

Отношение периметров подобных фигур

Периметры подобных фигур относятся как коэффициент подобия — правило и примеры.

Радиус вписанной окружности через площадь

Формула радиуса вписанной в треугольник окружности через площадь и полупериметр.

Прямоугольная трапеция: свойства

Прямоугольная трапеция — трапеция, у которой одна боковая сторона перпендикулярна основаниям; два её угла прямые, высота равна этой боковой стороне. Свойства, формулы площади, задачи 8 класса.

Деление отрезка пополам циркулем

Построение середины отрезка и серединного перпендикуляра циркулем и линейкой.

Формула Пика: площадь по узлам целочисленной решётки

Формула Пика позволяет найти площадь простого многоугольника, вершины которого лежат в узлах единичной квадратной решётки. Если I — число узлов строго внутри, а B — число узлов на