Свойства равнобедренного треугольника
📏 Геометрия · 7 класс
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, а биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой. Доказательство теорем, признаки и задачи для 7 класса.
Равнобедренный треугольник
Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. Эти равные стороны называют боковыми, а третью — основанием. Углы при основании — это два угла, прилежащие к основанию, а угол при вершине лежит напротив основания между боковыми сторонами.
Равнобедренный треугольник обладает несколькими важными свойствами, которые часто используют в доказательствах и при решении задач. Эти свойства делают равнобедренный треугольник одной из самых удобных фигур для построений.
Свойства углов и линий
Теорема о углах при основании. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Теорема о биссектрисе. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является одновременно медианой и высотой.
Это значит, что одна и та же линия, проведённая из вершины к основанию, делит основание пополам (медиана), делит угол при вершине пополам (биссектриса) и перпендикулярна основанию (высота). Три различных свойства совпадают в одной линии — это удобно использовать при решении задач.
Сводка свойств
| Элемент | Свойство |
|---|---|
| Боковые стороны | равны |
| Углы при основании | равны |
| Биссектриса к основанию | является медианой и высотой |
Признак равнобедренного треугольника
Существует и обратное утверждение, которое называют признаком.
Признак. Если в треугольнике два угла равны, то этот треугольник равнобедренный, и равные стороны лежат против равных углов.
Признак позволяет доказывать равнобедренность по углам, а не только по сторонам.
Разбор примера
В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен 40°. Найдём углы при основании.
Сумма углов любого треугольника равна 180°. На два равных угла при основании приходится:
180 − 40 = 140°.
Так как углы при основании равны, каждый из них равен 140 : 2 = 70°. Проверим результат: 70 + 70 + 40 = 180° — верно. Этот приём работает всегда, когда известен угол при вершине. Можно решать задачу и в обратную сторону: если известен угол при основании, то угол при вершине находят по формуле 180 − 2 · 70 = 40°. А в равностороннем треугольнике, который является частным случаем равнобедренного, все три угла равны 60°.
Частые ошибки. Свойство о совпадении биссектрисы, медианы и высоты верно только для линии, проведённой к основанию, а не к боковой стороне. Не считайте равными углы при вершине и при основании — они равны лишь в равностороннем треугольнике.
Кратко о главном
- У равнобедренного треугольника две боковые стороны равны.
- Углы при основании равны между собой.
- Биссектриса к основанию является медианой и высотой.
- Если два угла треугольника равны, он равнобедренный.
- Зная угол при вершине, углы при основании находят из суммы углов.