Вписанные и описанные окружности
📏 Геометрия · 8 класс
Вписанная и описанная окружность треугольника, радиусы.
Две окружности треугольника
С каждым треугольником связаны две важные окружности. Вписанная окружность касается всех трёх сторон треугольника изнутри. Описанная окружность проходит через все три вершины треугольника. У любого треугольника существуют и та, и другая, причём ровно по одной.
Вписанная окружность
Центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис треугольника. Она называется инцентром и одинаково удалена от всех сторон; это расстояние и есть радиус r. Радиус вписанной окружности связан с площадью S и полупериметром p формулой r = S / p.
Поскольку центр одинаково удалён от всех трёх сторон, до точек касания из центра можно опустить радиусы, и они будут перпендикулярны сторонам. Это часто используют при решении задач: радиус, проведённый в точку касания, всегда перпендикулярен стороне.
Описанная окружность
Центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам. Она равноудалена от всех вершин, это расстояние — радиус R. Важный частный случай: у прямоугольного треугольника центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы, а сама гипотенуза является диаметром, поэтому R = c / 2.
Положение центра описанной окружности зависит от вида треугольника: у остроугольного он внутри, у прямоугольного — на середине гипотенузы, у тупоугольного — снаружи треугольника. Радиус описанной окружности связан и с теоремой синусов: a / sin A = 2R, где a — сторона, а A — противолежащий ей угол.
| Признак | Вписанная | Описанная |
|---|---|---|
| Что соединяет | Касается сторон | Проходит через вершины |
| Центр | Пересечение биссектрис | Пересечение серединных перпендикуляров |
| Радиус | r = S / p | R = abc / (4S) |
| Расположение центра | Всегда внутри | Может быть вне (у тупоугольного) |
Пример
Прямоугольный треугольник: катеты 6 и 8.
1) Гипотенуза: c = √(6² + 8²) = √100 = 10.
2) Радиус описанной: R = c/2 = 10/2 = 5.
3) Площадь: S = (6·8)/2 = 24.
4) Полупериметр: p = (6 + 8 + 10)/2 = 12.
5) Радиус вписанной: r = S/p = 24/12 = 2.
Ответ: R = 5, r = 2.
Не путай. Биссектрисы дают центр ВПИСАННОЙ окружности, серединные перпендикуляры — центр ОПИСАННОЙ. Распространённая ошибка — менять их местами. И помни: у тупоугольного треугольника центр описанной окружности выходит за пределы фигуры.
Кратко о главном
- Вписанная окружность касается сторон, центр — на пересечении биссектрис.
- Описанная проходит через вершины, центр — на пересечении серединных перпендикуляров.
r = S/p, а для прямоугольного треугольникаR = c/2.- У любого треугольника обе окружности существуют и единственны.
- Радиус в точку касания вписанной окружности перпендикулярен стороне.