Вписанный четырёхугольник
📏 Геометрия · 9 класс
Признак и свойство суммы противоположных углов вписанного четырёхугольника.
Вписанный четырёхугольник
Вписанным называют четырёхугольник, все вершины которого лежат на одной окружности. Эту окружность называют описанной около четырёхугольника. Далеко не каждый четырёхугольник можно вписать в окружность — для этого должно выполняться особое условие на его углы.
Главное свойство
Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180°. То есть если углы обозначить A, B, C, D по порядку обхода, то A + C = 180° и B + D = 180°. Это прямое следствие теоремы о вписанном угле: противоположные углы четырёхугольника опираются на дуги, которые в сумме составляют всю окружность, то есть 360°, а вписанный угол равен половине дуги.
| Углы | Соотношение |
|---|---|
A и C | A + C = 180° |
B и D | B + D = 180° |
Признак
Верно и обратное утверждение: если у четырёхугольника сумма противоположных углов равна 180°, то около него можно описать окружность. Это очень удобный способ доказать, что четыре точки лежат на одной окружности — достаточно проверить сумму двух противоположных углов. Из этого, например, следует, что около любого прямоугольника и около равнобедренной трапеции окружность описать можно.
Разбор примера
В четырёхугольнике, вписанном в окружность, угол A = 70°, угол B = 95°. Найдём углы C и D, пользуясь свойством противоположных углов.
C = 180° − A = 180° − 70° = 110°D = 180° − B = 180° − 95° = 85°
Проверка суммы всех углов:70 + 95 + 110 + 85 = 360°
Сумма всех углов четырёхугольника равна 360° — значит, найденные значения согласованы.
Связь с внешним углом
Из основного свойства следует ещё одно полезное наблюдение: внешний угол вписанного четырёхугольника равен внутреннему углу при противоположной вершине. Действительно, внешний угол при вершине дополняет внутренний до 180°, а противоположный внутренний угол тоже дополняет данный до 180°, поэтому они равны. Это свойство часто используют в доказательствах, когда нужно перенести угол из одной части чертежа в другую. Кроме того, у вписанного четырёхугольника произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон — это утверждение известно как теорема Птолемея.
Частые ошибки. Складывают соседние углы вместо противоположных. Применяют свойство к произвольному четырёхугольнику, не убедившись, что он действительно вписан. Забывают, что у параллелограмма (кроме прямоугольника) сумма противоположных углов не равна 180°, поэтому его вписать нельзя.Кратко о главном
- Вписанный четырёхугольник имеет все вершины на одной окружности.
- Суммы противоположных углов равны
180°. - Это условие — одновременно и признак: оно гарантирует существование описанной окружности.
- Около прямоугольника и равнобедренной трапеции окружность описать можно.