Пирамида и её свойства
📏 Геометрия · 10 класс
Виды пирамид, правильная пирамида, апофема, площадь боковой и полной поверхности пирамиды.
Практика и разбор обновлены 27 октября 2026 года.
Что такое пирамида
Пирамидой называют многогранник, одна грань которого — произвольный многоугольник (основание), а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину. Эту общую точку называют вершиной пирамиды, а треугольники — боковыми гранями.
Высота, апофема и боковое ребро не взаимозаменяемы
В правильной пирамиде высота идёт к центру основания, апофема — к середине стороны основания, боковое ребро — к вершине основания. Все три отрезка имеют разные длины. Перед подстановкой в формулу подпишите, какой из них дан.
Задача для самостоятельной попытки
Правильная четырёхугольная пирамида имеет сторону основания 6 и высоту 4. Найдите объём, боковую и полную площадь поверхности.
Решение по шагам
Площадь основания 6² = 36. Объём V = 36 · 4 / 3 = 48. Для апофемы берём половину стороны: l = √(4² + 3²) = 5. Периметр основания 24, боковая площадь 24 · 5 / 2 = 60. Полная площадь 60 + 36 = 96.
Где обычно ошибаются
Для боковой площади нельзя подставлять высоту 4 вместо апофемы 5. Боковое ребро тоже другое: его квадрат равен 4² + (3√2)² = 34. Числа 4, 5 и √34 описывают разные отрезки одного тела.
Проверка результата
Разверните одну боковую грань как равнобедренный треугольник и найдите её площадь 6 · 5 / 2 = 15. Четыре грани дают 60 — это независимая проверка формулы через периметр. Объём и площадь имеют разные единицы измерения.
Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называют боковыми рёбрами. Перпендикуляр, опущенный из вершины на плоскость основания, называют высотой пирамиды.
Виды пирамид
Пирамиду называют по числу сторон основания: треугольная, четырёхугольная и так далее. Треугольную пирамиду также называют тетраэдром.
Правильной называют пирамиду, у которой в основании лежит правильный многоугольник, а вершина проектируется в его центр. У правильной пирамиды все боковые рёбра равны, а боковые грани — равные равнобедренные треугольники.
Апофема
Апофемой правильной пирамиды называют высоту её боковой грани, проведённую из вершины пирамиды. Все апофемы правильной пирамиды равны между собой.
| Элемент | Описание |
|---|---|
| Основание | многоугольник |
| Боковые грани | треугольники с общей вершиной |
| Высота | перпендикуляр из вершины на основание |
| Апофема | высота боковой грани (для правильной пирамиды) |
Площадь поверхности
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему:
S_бок = ½ · P_осн · a
Полная поверхность складывается из боковой поверхности и основания:
S_полн = S_бок + S_осн
Для произвольной (не обязательно правильной) пирамиды боковую поверхность находят как сумму площадей всех боковых треугольников по отдельности, поскольку единой формулы через периметр в этом случае нет.
Усечённая пирамида
Если пирамиду пересечь плоскостью, параллельной основанию, и отбросить меньшую пирамиду у вершины, получится усечённая пирамида. У неё два основания — подобные многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях, а боковые грани становятся трапециями. У правильной усечённой пирамиды боковые грани — равные равнобедренные трапеции, а их высоты называют апофемами усечённой пирамиды. Такое тело нередко встречается при описании реальных предметов и в задачах на площади поверхности.
Разобранный пример
В основании правильной пирамиды лежит квадрат со стороной 6, апофема a = 5. Найдём боковую поверхность.
P_осн = 4·6 = 24, S_бок = ½ · 24 · 5 = 60
Частые ошибки. Нельзя путать апофему пирамиды с её высотой: апофема — высота боковой грани, а высота — перпендикуляр на основание. Формула S_бок = ½·P·a верна только для правильной пирамиды.Кратко о главном
- Пирамида — многогранник с многоугольником в основании и общей вершиной.
- Правильная пирамида имеет правильное основание и равные боковые рёбра.
- Апофема — высота боковой грани правильной пирамиды.
- Боковая поверхность правильной пирамиды:
S_бок = ½ · P_осн · a.