Степень точки относительно окружности

Степень точки относительно окружности

Степень точки относительно окружности — это число, которое связывает расстояние от точки до центра окружности с её радиусом и объединяет несколько теорем об отрезках хорд, секущих и касательной в один общий закон. Если точка отстоит от центра на расстояние d, а радиус окружности равен R, то степень точки равна d² − R².

Знак степени

Знак числа d² − R² сразу подсказывает положение точки относительно окружности. Это полезно для проверки, лежит ли точка внутри, снаружи или прямо на окружности.

Главное применение

Через любую точку проведём прямую, пересекающую окружность в двух точках. Произведение отрезков от данной точки до точек пересечения по модулю всегда одно и то же, как бы мы ни поворачивали эту прямую. Это постоянное произведение и равно модулю степени точки. Отсюда получаются сразу три знакомые теоремы.

• Две пересекающиеся хорды: AE·EB = CE·ED для точки E внутри окружности.
• Две секущие из внешней точки: PA·PB = PC·PD, где берутся полные отрезки до дальних точек.
• Секущая и касательная: PT² = PA·PB, где PT — отрезок касательной от точки до точки касания.

Разбор примера

Из точки P вне окружности проведены касательная PT и секущая, пересекающая окружность в точках A и B. Известно PA = 4 и PB = 9. Найдём длину касательной по формуле степени точки.

PT² = PA·PB = 4·9 = 36
PT = √36 = 6

Длина касательной равна 6. Заметим, что PA — отрезок до ближней точки, а PB — до дальней, и в произведение идут оба.

Почему все случаи — это одно

Преимущество понятия степени точки в том, что три отдельные школьные теоремы оказываются одной и той же. Когда точка внутри окружности, мы получаем теорему о пересекающихся хордах; когда снаружи и проводим две секущие — теорему о секущих; когда снаружи и одна из прямых становится касательной, дальняя и ближняя точки сливаются, и произведение превращается в квадрат отрезка касательной. Запомнив одну идею о постоянстве произведения отрезков, не нужно держать в голове три разные формулировки. Это удобно и при доказательстве того, что четыре точки лежат на одной окружности: достаточно проверить равенство соответствующих произведений.

Частые ошибки. Для секущей из внешней точки берут не весь отрезок до дальней точки, а только до ближней. Для касательной возводят в квадрат не ту величину: в квадрат идёт именно отрезок касательной PT. Путают, какие отрезки относятся к одной прямой, а какие к другой.

Радикальная ось двух окружностей

Для окружностей с различными центрами радикальная ось — множество точек с одинаковыми степенями относительно обеих окружностей. Пусть первая задана (x − a₁)² + (y − b₁)² = R₁², вторая — (x − a₂)² + (y − b₂)² = R₂². Приравняйте их выражения степени и раскройте скобки: члены x² и y² сократятся, останется уравнение прямой.

Оригинальный пример

Первая окружность: x² + y² = 25. Вторая: (x − 6)² + y² = 9. Равенство степеней даёт x² + y² − 25 = (x − 6)² + y² − 9. После сокращения −25 = −12x + 27, поэтому x = 13/3. Это вертикальная прямая, перпендикулярная линии центров — оси Ox.

Подставив x = 13/3 в первую окружность, получаем y² = 25 − 169/9 = 56/9. Общие точки имеют координаты (13/3; ±2√14/3), и обе лежат на найденной оси.

Когда окружности не пересекаются

Радикальная ось всё равно существует при разных центрах. Например, для двух окружностей одинакового радиуса она является серединным перпендикуляром к отрезку центров, даже если окружности далеко друг от друга. Наличие радикальной оси не доказывает наличия общей хорды.

У концентрических окружностей разных радиусов равных степеней нет: их разность — ненулевая постоянная. У совпадающих окружностей степени равны во всех точках плоскости. Поэтому говорить о единственной радикальной оси в этих случаях нельзя.

Если окружности пересекаются, ось проходит через обе общие точки. При касании она совпадает с общей касательной в точке касания — как при внешнем, так и при внутреннем касании. Это удобно проверять по перпендикулярности линии центров.

Справочные материалы: Степень точки относительно окружности — исходная тема. Связанные уроки: Метод координат, Расстояние от точки до прямой.

Кратко о главном

• Степень точки равна d² − R².
• Её знак показывает, где точка: вне, на или внутри окружности.
• Хорды: AE·EB = CE·ED; секущие: PA·PB = PC·PD.
• Касательная и секущая: PT² = PA·PB.