Расстояние между параллельными прямыми
📏 Геометрия · 7 класс
Что считают расстоянием между двумя параллельными прямыми и почему оно одинаково во всех точках.
Расстояние от точки до прямой
Сначала вспомним, что расстоянием от точки до прямой называют длину перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Перпендикуляр — это отрезок от точки до прямой, образующий с прямой прямой угол. Любой другой отрезок от той же точки до прямой называют наклонной.
Перпендикуляр всегда короче любой наклонной, проведённой из той же точки. Именно поэтому его длину принимают за расстояние — это наименьшее из всех возможных расстояний. Это понятие лежит в основе определения расстояния между параллельными прямыми.
Расстояние между параллельными прямыми
Определение. Расстоянием между двумя параллельными прямыми называется расстояние от любой точки одной прямой до другой прямой.
Важно, что это расстояние не зависит от выбора точки. Какую бы точку на первой прямой мы ни взяли, перпендикуляр до второй прямой будет иметь одну и ту же длину.
Теорема. Все точки одной из параллельных прямых равноудалены от другой прямой.
Поэтому, где бы мы ни взяли точку на одной прямой, длина перпендикуляра до второй прямой будет одинаковой. Это свойство отличает параллельные прямые от пересекающихся, у которых расстояние до второй прямой меняется от точки к точке.
Сравнение перпендикуляра и наклонной
| Линия | Длина |
|---|---|
| Перпендикуляр | наименьшая |
| Наклонная | больше перпендикуляра |
Чем дальше основание наклонной от основания перпендикуляра, тем длиннее наклонная. Это позволяет сравнивать наклонные по длине, не измеряя их.
Разбор примера
Даны две параллельные прямые. Из точки A первой прямой опущен перпендикуляр на вторую прямую длиной 5 см. Чему равно расстояние от другой точки B первой прямой до второй прямой?
Так как все точки первой прямой равноудалены от второй, перпендикуляр из точки B тоже равен 5 см. Значит, расстояние между прямыми равно 5 см и не зависит от выбора точки. Перпендикуляры из разных точек первой прямой образуют равные отрезки между прямыми. Более того, эти перпендикуляры параллельны друг другу, ведь все они перпендикулярны одной и той же прямой. Поэтому полоса между двумя параллельными прямыми имеет всюду одинаковую ширину, равную расстоянию между ними.
Частые ошибки. Нельзя измерять расстояние по наклонной линии — только по перпендикуляру. Расстояние между параллельными прямыми постоянно; его не нужно искать заново для каждой точки. И не путайте расстояние между прямыми с длиной произвольного отрезка, соединяющего их.
Параллельная прямая на заданном расстоянии
Для ax + by + c = 0, где a² + b² > 0, две параллельные прямые на расстоянии d > 0 задаются формулами ax + by + c ± d√(a² + b²) = 0. Они расположены по разные стороны исходной прямой. При d = 0 получается та же прямая, а отрицательного расстояния не бывает.
Оригинальный пример: найдём прямые на расстоянии 2 от 3x + 4y − 10 = 0. Длина нормали √(9 + 16) = 5; постоянный член меняем на ±10. Ответ: 3x + 4y = 0 и 3x + 4y − 20 = 0. Разность постоянных членов по модулю, делённая на 5, в обоих случаях равна 2.
Чтобы найти расстояние между двумя уже заданными параллельными прямыми, сначала приведите коэффициенты при x и y к одному виду. Например, уравнение 6x + 8y − 40 = 0 сначала делят на 2. Нельзя сравнивать постоянные члены до этого преобразования.
Как выбирать кратчайший отрезок между фигурами
| Объекты | Что измеряем |
|---|---|
| Точка и прямая/плоскость | Перпендикуляр от точки |
| Параллельные прямые | Перпендикуляр между ними |
| Скрещивающиеся прямые | Общий перпендикуляр к обеим прямым |
| Параллельные плоскости | Перпендикуляр между плоскостями |
| Прямая, параллельная плоскости | Перпендикуляр из любой точки прямой к плоскости |
У пересекающихся фигур расстояние как минимум расстояний между их точками равно нулю, а не «не существует». Для отрезков, лучей и ограниченных фигур дополнительно проверяют, находятся ли основания перпендикуляров на самих фигурах. Например, ближайшая точка отрезка может оказаться его концом. Нельзя без проверки продолжать отрезок до бесконечной прямой и считать найденное значение ответом исходной задачи.
Справочные материалы: Расстояние от точки до прямой — исходная тема; Расстояние от точки до прямой — исходная тема. Связанные уроки: Метод координат, Расстояние от точки до прямой.
Кратко о главном
- Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра.
- Перпендикуляр короче любой наклонной из той же точки.
- Все точки одной из параллельных прямых равноудалены от другой.
- Расстояние между параллельными прямыми одно и то же в любой точке.
- По наклонной расстояние не измеряют.