Геометрия · 10 класс

Аксиомы стереометрии 10 класс

Аксиомы стереометрии: через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость; если две точки прямой лежат в плоскости, то вся прямая лежит в ней; две плоскости пересекаются по прямой.

Параллельность в пространстве

Параллельные прямые и плоскости, скрещивающиеся прямые.

Перпендикулярность

Перпендикуляр к плоскости, угол прямой с плоскостью, двугранный угол.

Многогранники

Призма, параллелепипед, пирамида. Развёртки, поверхности и объёмы.

Тела вращения

Цилиндр, конус, шар. Площади поверхностей и объёмы.

Векторы в пространстве

Понятие вектора в пространстве, действия над векторами, компланарность и разложение по трём некомпланарным векторам.

Прямоугольные координаты в пространстве

Декартова система координат в пространстве, координаты точки и вектора, формулы длины, середины и расстояния.

Угол между прямой и плоскостью

Определение угла между наклонной прямой и плоскостью через проекцию и способы его вычисления.

Расстояние от точки до плоскости

Перпендикуляр и наклонная, понятие расстояния от точки до плоскости и до прямой в пространстве.

Призма и её свойства

Прямая и наклонная призма, элементы призмы, формулы площади боковой и полной поверхности.

Пирамида и её свойства

Виды пирамид, правильная пирамида, апофема, площадь боковой и полной поверхности пирамиды.

Сечения многогранников плоскостью

Построение сечений призмы и пирамиды секущей плоскостью методом следов и методом внутреннего проектирования.

Параллельность прямой и плоскости

Признак и свойства параллельности прямой и плоскости в пространстве с разбором доказательства.

Параллельность двух плоскостей

Признак параллельности плоскостей и свойства параллельных плоскостей в стереометрии.

Теорема о трёх перпендикулярах

Прямая и обратная теорема о трёх перпендикулярах и её применение к решению задач.

Двугранный угол

Понятие двугранного угла, его линейный угол и способы измерения в пространстве.

Угол между скрещивающимися прямыми

Определение и нахождение угла между скрещивающимися прямыми через параллельный перенос.

Площадь ортогональной проекции многоугольника

Теорема о площади ортогональной проекции многоугольника на плоскость и её применение.

Параллелепипед и его свойства

Прямой, наклонный и прямоугольный параллелепипед: свойства граней, рёбер и диагоналей.

Правильные многогранники

Пять правильных многогранников (тела Платона): их строение, свойства и формула Эйлера.

Скрещивающиеся прямые: определение и признак

Скрещивающиеся прямые — прямые, которые не лежат в одной плоскости и не пересекаются. Признак скрещивающихся прямых, угол между ними, отличие от параллельных, задачи для 10 класса.

Симметрия в пространстве

Центральная, осевая и зеркальная симметрия в пространстве и симметрия многогранников.

Взаимное расположение прямых в пространстве

Три случая расположения двух прямых: пересекающиеся, параллельные и скрещивающиеся.

Взаимное расположение прямой и плоскости

Когда прямая лежит в плоскости, параллельна ей или пересекает её в одной точке.

Взаимное расположение двух плоскостей

Две плоскости либо пересекаются по прямой, либо параллельны друг другу.

Перпендикулярность прямой и плоскости

Признак перпендикулярности прямой и плоскости и его применение в задачах.

Перпендикулярность двух плоскостей

Признак перпендикулярности плоскостей через прямой двугранный угол.

Наклонная и её проекция

Перпендикуляр, наклонная и её проекция на плоскость, сравнение их длин.

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Длина общего перпендикуляра как кратчайшее расстояние между скрещивающимися прямыми.

Площадь поверхности призмы: формулы

Площадь полной поверхности призмы равна сумме площади боковой поверхности и двух оснований: S = S_бок + 2S_осн; для прямой призмы S_бок = P_осн · h. Примеры решения задач для 10 класса.

Площадь поверхности пирамиды

Боковая и полная поверхность пирамиды, роль апофемы у правильной пирамиды.

Усечённая пирамида

Усечённая пирамида: её элементы, свойства оснований и площадь поверхности.

Построение сечений методом следов

Метод следов для построения сечений многогранников плоскостью.

Тетраэдр: сколько рёбер, граней и вершин

У тетраэдра 4 грани, 6 рёбер и 4 вершины; все грани — треугольники. Правильный тетраэдр, медианы и центроид, формулы объёма и площади поверхности, задачи для 10 класса.