Подобные треугольники: отношение сторон и признаки
📏 Геометрия · 8 класс
Подобные треугольники — треугольники с равными углами и пропорциональными сторонами; отношение сторон равно коэффициенту подобия k. Три признака подобия, отношение площадей k², задачи.
Подобные треугольники
Подобными называют треугольники, у которых соответственные углы равны, а соответственные стороны пропорциональны. Подобие обозначают знаком ∼. Если объяснять простыми словами, подобные треугольники имеют одинаковую форму, но разный размер — как фотография и её увеличенная копия или как карта и реальная местность. Подобие — более слабое условие, чем равенство: равные треугольники всегда подобны (с коэффициентом 1), но подобные не обязательно равны. Подобие лежит в основе масштабирования: уменьшая чертёж или карту, мы сохраняем форму, то есть получаем подобную фигуру.
Коэффициент подобия
Отношение соответственных сторон подобных треугольников — это постоянное число, которое называют коэффициентом подобия и обозначают k. Если k = 2, то каждая сторона одного треугольника ровно в два раза больше соответственной стороны другого. Коэффициент подобия определяет, как соотносятся между собой не только стороны, но и периметры и площади.
| Величина | Отношение | Пояснение |
|---|---|---|
| Стороны | k | Линейный коэффициент |
| Периметры | k | Относятся так же, как стороны |
| Высоты, медианы, биссектрисы | k | Все линейные элементы |
| Площади | k² | Квадрат коэффициента подобия |
Признаки подобия
Чтобы доказать подобие, не нужно проверять все элементы. Достаточно выполнения одного из трёх признаков:
- По двум углам: если два угла одного треугольника равны двум углам другого.
- По двум сторонам и углу между ними: эти стороны пропорциональны, а углы между ними равны.
- По трём сторонам: все три пары соответственных сторон пропорциональны.
На практике чаще всего применяют первый признак, потому что углы найти проще всего. Часто подобие возникает, когда одна прямая параллельна стороне треугольника: она отсекает треугольник, подобный исходному. Этот приём постоянно используют в задачах с параллельными прямыми и средними линиями.
Отношение площадей
Важнейшее следствие: отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Если стороны больше в 3 раза, то площадь больше уже в 9 раз. Это связано с тем, что площадь — двумерная величина.
Дано: треугольники подобны, коэффициент k = 3, площадь меньшего S = 5 см².
Шаг 1. Площади подобных треугольников относятся как k².
Шаг 2. Вычисляем k²: 3² = 9.
Шаг 3. Площадь большего треугольника: 5 · 9 = 45 см².
Шаг 4. Ответ: 45 см².Частые ошибки. Площади относятся какk², а не какk— это главная и самая частая ошибка. Стороны должны быть именно соответственными, то есть лежать против равных углов. Равенство трёх углов даёт подобие треугольников, но не их равенство.
Равенство и подобие: выбираем нужный признак
Равные треугольники можно совместить движением: размеры и форма совпадут. Для подобия достаточно одинаковой формы, а размеры могут отличаться в постоянное число раз. Равенство — частный случай подобия с коэффициентом 1; поэтому фраза «подобные всегда имеют разный размер» неверна.
| Дано | Что можно заключить |
|---|---|
| Две стороны и угол между ними соответственно равны | Равенство |
| Сторона и два прилежащих угла соответственно равны | Равенство |
| Три стороны соответственно равны | Равенство |
| Два угла соответственно равны | Подобие, размеры ещё неизвестны |
| Две пары сторон пропорциональны, включённые углы равны | Подобие |
Оригинальный пример с соответствием вершин
Даны ABC с AB = 4, BC = 6, AC = 8 и KLM с KL = 6, LM = 9, KM = 12. Все три отношения сторон первого треугольника ко второму равны 2/3, значит, ABC ∼ KLM. Из порядка букв следует A ↔ K, B ↔ L, C ↔ M. Треугольники не равны: например, AB ≠ KL. Их площади относятся как 4:9, а не 2:3.
Стороны 4, 6, 8 и 4, 6, 7 дают контрпример к выводу по двум сторонам: две пары равны, но третья различается. Без дополнительного условия об угле этих данных недостаточно ни для равенства, ни для подобия.
Порядок решения
- Установите соответствие вершин через равные углы или стороны.
- Запишите один достаточный признак и проверьте все его условия.
- Составьте отношения в одном направлении, не переворачивая одну дробь отдельно.
- Только после доказательства переносите свойства и вычисляйте неизвестные элементы.
Размер коэффициента подобия положителен: нулевой или отрицательный коэффициент отношения длин сторон невырожденных треугольников невозможен.
Справочные материалы: Подобные треугольники — исходная тема. Связанные уроки: Площадь треугольника, Постановка задачи.
Кратко о главном
- Подобные треугольники имеют равные углы и пропорциональные стороны.
- Коэффициент подобия
k— это отношение соответственных сторон. - Признаки подобия: по двум углам; по двум сторонам и углу между ними; по трём сторонам.
- Периметры относятся как
k, а площади — какk². - Соответственные стороны лежат против равных углов.