Аксиомы геометрии 7 класс: список
📏 Геометрия · 7 класс
Аксиома — утверждение, принимаемое без доказательства. Основные аксиомы планиметрии: через две точки проходит единственная прямая, аксиома параллельных прямых и другие — полный список с пояснениями.
Аксиомы геометрии
Аксиома — это утверждение, которое принимают за истинное без доказательства. Аксиомы служат основой всей геометрии: именно из них логически выводят все остальные факты, то есть теоремы. Слово постулат в математике означает примерно то же самое, что и аксиома. Аксиомы выбирают так, чтобы они были простыми и не вызывали сомнений.
Зачем нужны аксиомы
Доказать абсолютно всё невозможно. Любое доказательство опирается на какие-то более ранние факты, а те — на ещё более ранние. Если бы у этой цепочки не было начала, она тянулась бы бесконечно. Чтобы рассуждения где-то начинались, математики выбирают несколько простых и очевидных утверждений и принимают их без доказательства. Эти отправные утверждения и есть аксиомы.
Основные аксиомы 7 класса
| Аксиома | Что утверждает |
|---|---|
| О прямой | Через две точки проходит единственная прямая |
| О сравнении | Любые два отрезка или два угла можно сравнить |
| Об откладывании | От луча можно отложить отрезок данной длины и угол данной меры |
| О параллельных | Через точку вне прямой проходит только одна параллельная ей прямая |
Пример рассуждения
Дано: две точки A и B.
Аксиома: через A и B проходит единственная прямая.
Вывод: прямая AB определена однозначно,
другой прямой через A и B провести нельзя.Правило. Аксиому внутри геометрии не доказывают и не оспаривают — её принимают как отправную точку рассуждений. А вот любую теорему доказывать обязательно, опираясь в том числе на аксиомы.
Чем аксиома отличается от теоремы
Главное различие между ними — в способе обоснования. Аксиому принимают без доказательства, а теорему обязательно выводят из аксиом и уже доказанных теорем. Например, утверждение «через две точки проходит прямая» — это аксиома, а утверждение «сумма углов треугольника равна 180°» — это теорема, которую подробно доказывают на уроке.
Историческая справка
Стройную систему аксиом для геометрии впервые подробно изложил древнегреческий математик Евклид примерно две с половиной тысячи лет назад в своём труде «Начала». Он показал, как из небольшого набора аксиом можно вывести огромное число теорем. Поэтому привычную школьную геометрию называют евклидовой — в честь этого учёного.
Почему аксиом немного
Математики стараются обходиться как можно меньшим числом аксиом. Чем меньше утверждений принято без доказательства, тем надёжнее вся постройка: достаточно убедиться в очевидности нескольких аксиом, и всё остальное будет доказано строго.
Измерение угла: мера целого и его частей
В школьной геометрии градусная мера развёрнутого угла равна 180°. Если луч OC проходит внутри угла AOB, он разбивает его на две неперекрывающиеся части, поэтому ∠AOB = ∠AOC + ∠COB. Условие о положении луча обязательно: складывать любые два угла с общей вершиной нельзя.
Оригинальный пример с уравнением
Луч OC расположен внутри угла AOB = 116°. Известно, что ∠AOC = 3x + 8°, а ∠COB = 2x − 2°. По свойству сложения мер получаем (3x + 8) + (2x − 2) = 116, откуда 5x = 110 и x = 22. Следовательно, части равны 74° и 42°. Проверка: обе меры положительны, каждая меньше 116°, их сумма 116°.
Если в условии дано лишь «из O проведён луч OC», положение не определено. Например, из равенств ∠AOB = 70° и ∠AOC = 25° без указания стороны луча OC угол BOC может получиться 45° или 95° при соответствующем расположении. Сначала отметьте лучи на схеме, затем выбирайте сложение или вычитание.
Наложение и транспортир
- Совместите центр транспортира с вершиной, а нулевую отметку — с одной стороной.
- Выберите шкалу, которая начинается с нуля на этой стороне.
- Прочитайте отметку второй стороны. Для тупого угла результат должен превышать 90°.
Измерение рисунка помогает оценить ответ, но не заменяет доказательство свойства. Нарисованный угол 74° может отличаться на градус из-за толщины линий; в задаче вычисленная мера определяется условием.
Проверьте себя: может ли внутренний луч разделить угол 125° на углы 80° и 55°? Нет: сумма равна 135°. Нельзя исправлять условие тем, что рисунок выглядит правдоподобно.
Справочные материалы: Аксиомы геометрии — исходная тема. Связанные уроки: Измерение отрезков, Что такое аксиома.
Кратко о главном
- Аксиома — утверждение, принимаемое без доказательства.
- Аксиомы — основа, из которой выводят все теоремы.
- Через две точки проходит единственная прямая.
- Через точку вне прямой проходит одна параллельная прямая.
- Теорему, в отличие от аксиомы, обязательно доказывают.
- Школьную геометрию называют евклидовой.