Смежные углы: определение и свойства
📏 Геометрия · 7 класс
Смежные углы — это два угла с общей стороной, две другие стороны которых образуют прямую; сумма смежных углов равна 180°. Доказательство, свойства, чем отличаются от вертикальных, задачи 7 класса.
Что такое смежные углы
Смежными называются два угла, у которых одна сторона общая, а две другие стороны являются дополнительными полупрямыми, то есть вместе образуют прямую. Проще говоря, если на прямой отметить точку и провести из неё луч, то этот луч разобьёт развёрнутый угол на два смежных угла. Понятие смежных углов — одно из первых, с которым ученик встречается при изучении свойств углов, и оно постоянно используется в дальнейших темах.
Смежные углы всегда расположены рядом и вместе заполняют половину плоскости вдоль прямой. Их общая вершина лежит на этой прямой, а несовпадающие стороны направлены в противоположные стороны. Важно понимать, что не любые два соседних угла будут смежными: нужно, чтобы их внешние стороны лежали на одной прямой.
Главное свойство смежных углов
Так как стороны смежных углов вместе составляют прямую, а развёрнутый угол равен 180 градусам, мы получаем основное свойство, которое формулируют в виде теоремы.
Теорема. Сумма смежных углов равна 180 градусам.Это свойство позволяет легко находить один угол, если известен второй: достаточно вычесть данный угол из 180 градусов. Именно поэтому смежные углы так удобны в задачах: зная всего один угол, мы сразу узнаём и второй.
Важные следствия
- Если один из смежных углов прямой, то и второй прямой, ведь
180 − 90 = 90. - Если один угол острый, то смежный с ним угол обязательно тупой, и наоборот.
- Два смежных угла равны между собой только в одном случае — когда каждый из них равен
90градусам. - Смежные углы никогда не могут быть оба острыми или оба тупыми.
Примеры значений
В таблице показано, как меняется второй угол в зависимости от первого. Видно, что чем больше первый угол, тем меньше смежный ему.
| Первый угол | Смежный угол |
|---|---|
30° | 150° |
72° | 108° |
90° | 90° |
117° | 63° |
Разбор примера
Пусть один из смежных углов в три раза больше другого. Найдём оба угла.
Обозначим меньший угол через x. Тогда больший равен 3x, а их сумма равна развёрнутому углу:
x + 3x = 180
Сложив одинаковые слагаемые, получаем 4x = 180, значит x = 45. Тогда меньший угол равен 45°, а больший равен 3 · 45 = 135°. Проверим: 45 + 135 = 180° — всё верно. Такой приём с введением буквы для неизвестного угла применяют почти во всех задачах на смежные углы.
Частые ошибки. Не путайте смежные углы с вертикальными: смежные дают в сумме 180°, а вертикальные равны между собой. Ещё одна ошибка — считать смежными любые два соседних угла; их несовпадающие стороны обязаны лежать на одной прямой. Также нельзя забывать проверять ответ сложением.Кратко о главном
- Смежные углы имеют общую сторону, а две другие образуют прямую.
- Сумма смежных углов равна
180градусам. - Зная один угол, второй находят вычитанием из
180°. - Угол, смежный с прямым, тоже прямой.
- Смежные углы не могут быть оба острыми или оба тупыми.
Частые вопросы
Какие углы называются смежными?
Смежные углы — это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются дополнительными лучами, то есть вместе образуют прямую. Проще: луч, проведённый из точки на прямой, разбивает развёрнутый угол на два смежных.
Чему равна сумма смежных углов?
Сумма смежных углов всегда равна 180°. Поэтому если один из них 50°, второй равен 130°.
Равны ли смежные углы?
В общем случае нет — они лишь дают в сумме 180°. Равны они только тогда, когда оба прямые, по 90°.
Что такое смежные стороны?
Смежные стороны многоугольника — это две стороны, выходящие из одной вершины, то есть имеющие общий конец. У прямоугольника смежные стороны — это его длина и ширина, и они перпендикулярны.