Скалярное произведение векторов

Определение скалярного произведения

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению их длин на косинус угла между ними. Если угол между векторами равен alpha, то по определению a * b = |a| * |b| * cos(alpha). Результат — именно число (скаляр), а не вектор, отсюда и название. Угол между векторами отсчитывают, отложив оба вектора от одной точки; он лежит в пределах от 0 до 180 градусов.

Через координаты a = (ax; ay) и b = (bx; by) скалярное произведение вычисляется проще всего: a * b = ax*bx + ay*by. Эта формула особенно удобна, когда угол неизвестен, но заданы координаты векторов. Из двух выражений для произведения, приравняв их, как раз и выводят формулу косинуса угла.

Свойства

• Переместительное: a * b = b * a.
• Сочетательное относительно числа: (k*a) * b = k*(a * b).
• Распределительное: a * (b + c) = a*b + a*c.
• Скалярный квадрат равен квадрату длины: a * a = |a|^2.

Благодаря этим свойствам с векторными выражениями можно работать почти как с обычными многочленами: раскрывать скобки и выносить общие множители. Например, (a + b) * (a + b) раскрывается в |a|^2 + 2*(a*b) + |b|^2.

Признак перпендикулярности

Если векторы ненулевые и перпендикулярны, то угол между ними равен 90 градусам, а cos(90) = 0. Значит, их скалярное произведение равно нулю. Верно и обратное: если произведение двух ненулевых векторов равно нулю, то они перпендикулярны. Этим признаком удобно проверять перпендикулярность отрезков, заданных координатами.

Формула угла

Из определения выражают косинус: cos(alpha) = (a * b) / (|a| * |b|). Подставив координаты, получают рабочую формулу cos(alpha) = (ax*bx + ay*by) / (|a| * |b|). По найденному косинусу определяют сам угол.

Разобранный пример

Найдём угол между векторами a = (3; 0) и b = (3; 3).

a * b = 3*3 + 0*3 = 9

|a| = 3, |b| = sqrt(9 + 9) = sqrt(18) = 3*sqrt(2)

cos(alpha) = 9 / (3 * 3*sqrt(2)) = 1 / sqrt(2)

Значит, alpha = 45 градусов. Знак произведения положительный, поэтому угол ожидаемо оказался острым.

Частые ошибки. Скалярное произведение — это число, его нельзя записывать со стрелкой как вектор. Косинус угла находят только после деления произведения на произведение длин; забывать про длины нельзя. При вычислении в координатах перемножают именно одноимённые координаты и затем складывают, а не перемножают всё подряд.

Два произведения для вычислительной геометрии

На плоскости для a = (ax;ay), b = (bx;by) удобно вычислять a·b = axbx + ayby и det(a,b) = axby − aybx. Первое — скалярное произведение. Второе — число со знаком, равное z-компоненте пространственного векторного произведения после добавления нулевых третьих координат.

В стандартной ориентации плоскости знак det показывает сторону поворота от a к b, а |det|/2 — площадь треугольника на этих векторах. Для ненулевых векторов ориентированный угол можно найти как atan2(det, a·b); в программной библиотеке проверьте порядок аргументов и диапазон результата.

Точка на прямой, луче или отрезке

Пусть A ≠ B, v = B − A, w = P − A. На прямой AB точка P лежит, если det(v,w) = 0. Для луча AB дополнительно нужно v·w ≥ 0. Для отрезка AB удобна проверка 0 ≤ v·w ≤ v·v вместе с коллинеарностью. Один лишь нулевой определитель не отличает точку отрезка от точки на его продолжении.

Оригинальная проверка расстояний

A = (0;0), B = (4;0), P = (−2;3). v·w = −8 < 0, поэтому основание перпендикуляра находится позади начала луча AB. Расстояние до прямой равно 3, а до луча и отрезка — AP = √13. Подставить длину AB = 4 вместо AP было бы ошибкой.

Для произвольного P параметр основания перпендикуляра t = (v·w)/(v·v). При 0 ≤ t ≤ 1 ближайшая точка отрезка A + tv; при t < 0 — A, при t > 1 — B. Для расстояния до прямой можно использовать |det(v,w)|/|v|.

Координаты вектора получают как «конец минус начало» по обеим осям. Например, для A = (−1;2), B = (3; −4) имеем AB = (4; −6). Смешанный порядок вычитания ломает знак определителя и проверку принадлежности лучу.

Справочные материалы: Определение скалярного произведения — исходная тема; Определение скалярного произведения — исходная тема. Связанные уроки: Метод координат, Расстояние от точки до прямой.

Кратко о главном

• Скалярное произведение равно произведению длин на косинус угла между векторами.
• В координатах оно равно сумме произведений одноимённых координат.
• Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда векторы перпендикулярны.
• Косинус угла равен отношению произведения к произведению длин.
• По знаку произведения судят о виде угла между векторами.