Взаимное расположение двух прямых на плоскости
📏 Геометрия · 7 класс
Когда прямые пересекаются, совпадают или параллельны, и сколько у них общих точек.
Взаимное расположение двух прямых на плоскости
Взаимное расположение двух прямых — это вопрос о том, сколько у двух прямых общих точек. На плоскости возможны только три случая: прямые пересекаются, совпадают или параллельны. Понимание этих случаев помогает решать задачи на построение и доказательство.
Три случая
Если прямые имеют ровно одну общую точку, говорят, что они пересекаются. Если все точки одной прямой совпадают с точками другой, прямые совпадают — фактически это одна и та же прямая. Если общих точек нет совсем, прямые параллельны.
| Расположение | Число общих точек | Обозначение |
|---|---|---|
| Пересекаются | одна | — |
| Совпадают | бесконечно много | a = b |
| Параллельны | ни одной | a ∥ b |
Пересекающиеся прямые
При пересечении двух прямых образуются четыре угла. Эти углы попарно равны: вертикальные углы равны между собой, а соседние дают в сумме развёрнутый угол. Точку пересечения обычно обозначают одной буквой.
Прямые a и b пересекаются в точке O.
Образуются четыре угла, вертикальные из них равны.Параллельные прямые
Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются, как бы далеко их ни продолжали. Записывают это знаком ∥. Важно: речь идёт именно о прямых на одной плоскости — в пространстве возможны и другие случаи, которые изучают позже.
- Через точку вне прямой проходит только одна прямая, параллельная данной.
- Две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.
- Если прямая пересекает одну из двух параллельных, она пересечёт и другую.
Запомни. На плоскости не бывает «скрещивающихся» прямых — это понятие появится только в стереометрии. Если прямые не пересекаются, то на плоскости они обязательно параллельны.
Как определить расположение
Чтобы понять, как расположены две прямые, ищут их общие точки. Если найдена единственная общая точка, прямые пересекаются. Если общих точек оказывается бесконечно много, прямые совпадают. Если же общих точек нет вовсе, прямые параллельны. На чертеже параллельность отмечают одинаковыми стрелками на прямых.
- Одна общая точка — прямые пересекаются.
- Бесконечно много общих точек — прямые совпадают.
- Нет общих точек — прямые параллельны.
Иногда расположение определяют не по чертежу, а по условию задачи. Например, если известно, что обе прямые перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны между собой.
Применение
Определять расположение прямых нужно во многих задачах: при доказательстве параллельности сторон фигур, при построении и при работе с углами. Часто достаточно проверить, есть ли у прямых общая точка, чтобы сделать верный вывод.
Кратко о главном
- Две прямые на плоскости пересекаются, совпадают или параллельны.
- Пересекающиеся прямые имеют одну общую точку.
- Параллельные прямые не пересекаются и записываются
a ∥ b. - Через точку вне прямой проходит ровно одна параллельная ей прямая.