Геометрия · 9 класс

Теоремы синусов и косинусов

Теорема синусов, теорема косинусов. Решение произвольных треугольников.

Правильные многоугольники

Правильный многоугольник, радиус вписанной и описанной окружностей.

Длина окружности и площадь круга

Число π, формулы длины окружности и площади круга, кругового сектора.

Движения в геометрии

Осевая и центральная симметрия, поворот, параллельный перенос.

Преобразование подобия

Гомотетия, свойства. Связь с подобием фигур.

Векторный метод

Применение векторов для доказательства геометрических утверждений.

Метод координат на плоскости

Координаты точки и вектора, формулы расстояния и середины отрезка, решение задач координатным способом.

Скалярное произведение векторов

Определение скалярного произведения, его свойства и применение для нахождения угла между векторами.

Уравнение окружности

Вывод уравнения окружности через центр и радиус, распознавание окружности по уравнению.

Уравнение прямой

Общее уравнение прямой и уравнение с угловым коэффициентом, условия параллельности и перпендикулярности.

Площадь треугольника через две стороны и синус угла

Формула площади через стороны и синус угла между ними, связь с формулами площади и высотой.

Вписанные и центральные углы

Теорема о вписанном угле, связь центрального и вписанного углов, углы, опирающиеся на диаметр.

Начальные сведения из стереометрии

Многогранники и тела вращения, формулы объёма призмы, цилиндра, конуса и шара.

Решение треугольников

Как найти все стороны и углы треугольника по трём данным элементам с помощью теорем синусов и косинусов.

Площадь многоугольника по координатам вершин

Формула площади треугольника и многоугольника, заданного координатами вершин на плоскости.

Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

Как выразить любой вектор плоскости через два базисных вектора и зачем это нужно.

Угол между векторами

Вычисление угла между векторами через скалярное произведение и условие перпендикулярности.

Сектор и сегмент круга: в чём разница, формулы площади

Сектор — часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой; сегмент — часть круга, отсечённая хордой. Формулы площади сектора S = πR²α/360° и сегмента, примеры решения задач для 9 класса.

Вписанная и описанная окружности многоугольника

Радиусы окружностей, вписанных в правильный многоугольник и описанных около него.

Поворот и осевая симметрия как движения

Построение образов фигур при повороте вокруг точки и симметрии относительно прямой.

Гомотетия и центральное подобие

Преобразование гомотетии, его коэффициент и свойства, связь с подобием фигур.

Средняя линия треугольника и трапеции

Свойства средней линии треугольника и трапеции, их применение к вычислению длин.

Объёмы шара, цилиндра и конуса (начальные сведения)

Первое знакомство с формулами объёма тел вращения в курсе стереометрии 9 класса.

Касательная к окружности и её свойства

Что такое касательная, почему она перпендикулярна радиусу и как находить отрезки касательных из одной точки.

Свойства хорд окружности

Связь хорды, диаметра и расстояния до центра, равные хорды и перпендикуляр из центра к хорде.

Теорема об отрезках пересекающихся хорд

Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой: AE · EB = CE · ED. Доказательство через подобные треугольники, задачи для 9 класса.

Угол между касательной и хордой

Угол между касательной и хордой равен половине дуги, заключённой внутри него.

Расстояние между двумя точками на координатной плоскости

Формула расстояния как следствие теоремы Пифагора и её применение к задачам.

Координаты середины отрезка

Как найти середину отрезка по координатам концов и где это используется.

Сложение и вычитание векторов

Правила треугольника, параллелограмма и многоугольника, вычитание векторов и их свойства.

Умножение вектора на число

Как меняется длина и направление вектора при умножении на число, условие коллинеарности.

Признаки подобия треугольников

Три признака подобия треугольников и их применение для нахождения сторон и углов.

Радианная мера угла

Что такое радиан, перевод между градусами и радианами и связь с длиной дуги.

Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике

Метрические соотношения: высота к гипотенузе — среднее пропорциональное проекций катетов (h² = a_c · b_c), катет — среднее пропорциональное гипотенузы и своей проекции. Доказательство, задачи.

Касающиеся окружности

Внешнее и внутреннее касание окружностей и связь между расстоянием центров и радиусами.

Формула Герона

Как найти площадь треугольника по трём сторонам через полупериметр без высоты и углов.

Площадь трапеции

Вывод и применение формулы площади трапеции через основания и высоту.

Площадь правильного многоугольника через радиусы

Формулы площади правильного многоугольника через радиус вписанной и описанной окружностей.

Свойство биссектрисы треугольника

Биссектриса делит противоположную сторону пропорционально прилежащим сторонам.

Длина медианы и теорема Стюарта

Как вычислить длину медианы треугольника по трём его сторонам.

Площадь четырёхугольника по диагоналям

Формула площади четырёхугольника через диагонали и угол между ними.

Вписанный четырёхугольник

Признак и свойство суммы противоположных углов вписанного четырёхугольника.

Описанный четырёхугольник

Свойство равенства сумм противоположных сторон описанного четырёхугольника.

Степень точки относительно окружности

Единый взгляд на теоремы о хордах, секущих и касательной через степень точки.

Геометрическое место точек

Понятие ГМТ и основные множества: серединный перпендикуляр, биссектриса, окружность.

Уравнение прямой по двум точкам

Как составить уравнение прямой, проходящей через две заданные точки плоскости.

Угловой коэффициент и условие параллельности прямых

Смысл углового коэффициента и условия параллельности и перпендикулярности прямых.

Изогональное сопряжение: отражение прямых относительно биссектрис

Две прямые через вершину угла называют изогональными, если они симметричны относительно его биссектрисы. Точки P и Q изогонально сопряжены относительно треугольника ABC, когда пары

Лемма о трезубце: середина дуги и центр вписанной окружности

Пусть биссектриса угла A треугольника ABC пересекает его описанную окружность второй раз в точке D. Если I — центр вписанной окружности, то DB=DC=DI. Точка D является серединой дуг

Ортотреугольник: основания высот и новые окружности

Ортотреугольником называют треугольник, образованный основаниями трёх высот исходного треугольника. Для первого разбора возьмём остроугольный ABC: основания D,E,F лежат соответстве