Задачи на построение циркулем и линейкой
📏 Геометрия · 7 класс
Основные построения: отрезок, угол, биссектриса, серединный перпендикуляр и перпендикуляр к прямой.
Что такое задачи на построение
Задачи на построение — это задачи, в которых нужно начертить фигуру, пользуясь только двумя инструментами: циркулем и линейкой без делений. Линейкой проводят прямые и отрезки, а циркулем строят окружности и откладывают равные отрезки. Такие задачи учат строгости: каждый шаг должен быть обоснован, а не сделан «на глаз».
В таких задачах нельзя измерять длины и углы — можно лишь повторять основные допустимые действия. Зато из простых построений складываются более сложные, и любое сложное построение разбивают на цепочку элементарных.
Основные построения
Построение отрезка, равного данному
Чтобы отложить отрезок, равный данному, циркулем измеряют его длину и переносят раствор циркуля на нужную прямую от выбранной точки. Точка пересечения дуги с прямой задаёт конец отрезка.
Построение угла, равного данному
Угол откладывают, проводя дуги одинакового радиуса из вершин обоих углов и перенося циркулем расстояние между точками пересечения дуги со сторонами данного угла.
Построение биссектрисы угла
Из вершины угла проводят дугу, пересекающую обе стороны. Затем из полученных точек проводят две дуги равного радиуса. Прямая через вершину и точку пересечения этих дуг — биссектриса угла.
Построение серединного перпендикуляра
Из концов отрезка проводят две дуги одинакового радиуса по обе стороны от отрезка. Прямая через две точки их пересечения делит отрезок пополам и перпендикулярна ему.
| Построение | Главный инструмент | Что получаем |
|---|---|---|
| Равный отрезок | Циркуль | Отрезок той же длины |
| Равный угол | Циркуль и линейка | Угол той же величины |
| Биссектриса | Циркуль и линейка | Деление угла пополам |
| Серединный перпендикуляр | Циркуль и линейка | Деление отрезка пополам |
Перпендикуляр к прямой
Чтобы построить перпендикуляр из точки на прямую, из этой точки проводят дугу, пересекающую прямую в двух местах, а затем строят серединный перпендикуляр к полученному отрезку:
1) дуга пересекает прямую в точках M и N; 2) строим серединный перпендикуляр к MN; 3) он проходит через данную точку и перпендикулярен прямойТак одно построение опирается на другое, уже известное, — это типичный приём в задачах на построение.
Частые ошибки. В построениях нельзя пользоваться делениями линейки и транспортиром. Все равные отрезки и дуги переносятся только циркулем, иначе построение считается неверным. Дуги при построении биссектрисы и серединного перпендикуляра обязательно проводят одним и тем же радиусом.
Три способа задать треугольник
По трём элементам треугольник определяется не всегда. Важно, какие именно элементы заданы и как они расположены. Для положительных сторон и невырожденных углов следующие три набора дают единственный треугольник с точностью до движения и зеркального отражения.
По трём сторонам
Отложите AB = c. Окружность с центром A радиуса b и окружность с центром B радиуса a зададут вершину C в точках пересечения. Условие существования: |a − b| < c < a + b. Равенство даёт вырожденное положение, а не треугольник. Например, отрезки 2, 4 и 7 не подходят: 2 + 4 < 7.
По двум сторонам и углу между ними
- Постройте угол A, равный заданному, с 0° < A < 180°.
- На одной стороне угла отложите AB = c, на другой AC = b.
- Соедините B и C. Равенство всех полученных треугольников следует из первого признака равенства.
Пример: стороны 4 и 6 с углом 60° между ними. Если угол дан напротив одной стороны, это уже другая задача: число решений нужно исследовать отдельно.
По стороне и двум прилежащим углам
- Отложите AB = c > 0.
- От луча AB постройте угол A, от BA — угол B в одной полуплоскости относительно AB.
- Пересечение новых лучей обозначьте C.
Нужно A > 0, B > 0 и A + B < 180°. Например, при c = 5 см, A = 45°, B = 65° третий угол равен 70°. При A = 100°, B = 80° пересечение не образует невырожденного треугольника.
Самопроверка: три угла 40°, 60°, 80° определяют только форму, но не размер: подходящие треугольники могут быть подобными и иметь разные стороны. Для единственности по размеру нужен хотя бы один линейный элемент.
Если задача требует циркуля и линейки без делений, углы должны быть даны как образцы для переноса или построимы разрешёнными действиями. Указание произвольной числовой меры само по себе не означает, что точный угол можно построить этими инструментами.
Справочные материалы: Что такое задачи на построение — исходная тема. Связанные уроки: Постановка задачи, Площадь треугольника.
Кратко о главном
- Построения выполняют циркулем и линейкой без делений.
- Можно отложить равный отрезок и равный угол.
- Биссектриса угла строится двумя дугами равного радиуса.
- Серединный перпендикуляр делит отрезок пополам под прямым углом.
- Перпендикуляр к прямой строят через серединный перпендикуляр.