Площадь треугольника

Площадь треугольника

Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту, проведённую к этому основанию. Это основная формула, из которой выводятся все остальные. За основание можно взять любую из трёх сторон, главное — провести к ней соответствующую высоту.

Если основание — a, а высота к нему — h, то:

S = (1/2) * a * h

Откуда берётся формула

Достроим треугольник до параллелограмма, добавив равный ему треугольник. Площадь параллелограмма равна a * h, а треугольник занимает ровно половину, поэтому его площадь равна (1/2) * a * h.

Другие формулы

В 8 классе изучают несколько способов вычисления площади треугольника.

• Через две стороны и угол между ними: S = (1/2) * a * b * sin(угол).
• Формула Герона через три стороны и полупериметр p: S = корень(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)), где p = (a + b + c) / 2.
• Для прямоугольного треугольника площадь равна половине произведения катетов, потому что один катет служит основанием, а другой — высотой.

Разбор примера 1

Стороны треугольника равны 13, 14 и 15. Найдём площадь по формуле Герона.

p = (13 + 14 + 15) / 2 = 21; S = корень(21 * 8 * 7 * 6) = корень(7056) = 84

Разбор примера 2

Две стороны треугольника равны 10 и 12, угол между ними 30 градусов.

S = (1/2) * 10 * 12 * sin(30) = (1/2) * 10 * 12 * 0,5 = 30

Связь площади и высоты

Из основной формулы видно, что площадь не зависит от того, какую сторону выбрать основанием: результат всегда одинаков. Это даёт удобный приём. Если площадь треугольника уже известна, то высоту к любой стороне можно найти как h = 2 * S / a. Например, при площади 84 и стороне 14 высота к этой стороне равна 2 * 84 / 14 = 12. Так одна и та же формула работает в обе стороны: и для вычисления площади, и для вычисления высоты. Этот приём часто используют в задачах, где напрямую найти высоту трудно, а площадь вычисляется проще. Аналогично можно найти сторону, если известны площадь и высота к ней: a = 2 * S / h.

Частые ошибки. В формуле S = (1/2) * a * b * sin(угол) угол должен лежать между сторонами a и b, а не быть произвольным. Высоту нельзя путать с боковой стороной; высота всегда перпендикулярна основанию. В формуле Герона легко ошибиться, забыв разделить периметр пополам.

Сравниваем площади без вычисления каждой

Из S = ah/2 следует общее отношение S₁/S₂ = a₁h₁/(a₂h₂). Если высоты равны, остаётся отношение оснований; если равны основания — отношение высот. Важно брать высоты именно к выбранным основаниям, а не любые стороны треугольника.

Общая вершина и основания на одной прямой

Пусть D лежит на BC и BD:DC = 3:5. У треугольников ABD и ADC общая высота из A к прямой BC, поэтому их площади относятся как 3:5. Если площадь ABC равна 64 см², получаем S(ABD) = 64·3/8 = 24 см², S(ADC) = 40 см². Значение высоты находить не пришлось.

Медиана делит треугольник на две равновеликие части, потому что делит основание пополам, а высота общая. Равновеликие треугольники при этом не обязаны быть равными по форме.

Равные основания

У двух треугольников основания по 7 см, высоты к ним — 4 и 10 см. Площади относятся как 4:10 = 2:5. Их вершины могут лежать по разные стороны от прямой основания: для площади берут положительную длину высоты.

Равные углы между выбранными сторонами

Если включённые углы равны, то из S = ab·sinγ/2 получаем S₁/S₂ = a₁b₁/(a₂b₂). Например, при сторонах 3 и 8 вокруг угла 40° у первого треугольника и 6 и 10 вокруг такого же угла у второго отношение равно 24:60 = 2:5. Синус сокращается; вычислять его не нужно.

Само по себе равенство одного угла не даёт подобия. Квадрат коэффициента применяют к площадям подобных треугольников: при отношении соответствующих сторон 2:3 площади относятся как 4:9. В остальных случаях сначала проверьте, какие именно основания, высоты или включённые углы известны.

Справочные материалы: Площадь треугольника — исходная тема. Связанные уроки: Биссектрисы углов треугольника, Метод координат.

Кратко о главном

• Основная формула: S = (1/2) * a * h.
• Через стороны и угол: S = (1/2) * a * b * sin(угол).
• По трём сторонам применяют формулу Герона.
• Для прямоугольного треугольника площадь равна половине произведения катетов.