Перпендикуляр и наклонная

Расстояние от точки до прямой

Чтобы измерить, насколько точка удалена от прямой, нужно ввести понятия перпендикуляра и наклонной. Расстоянием от точки до прямой называют длину перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Это определение важно, потому что от одной точки к прямой можно провести бесконечно много отрезков, и нужно выбрать среди них кратчайший.

Перпендикуляр

Перпендикуляр, опущенный из точки на прямую, — это отрезок, соединяющий точку с прямой и образующий с ней прямой угол. Конец перпендикуляра, лежащий на прямой, называют основанием перпендикуляра.

Наклонная

Наклонная — это любой другой отрезок, соединяющий ту же точку с прямой, но не перпендикулярный ей. Конец наклонной на прямой называют основанием наклонной, а отрезок прямой между основаниями перпендикуляра и наклонной — проекцией наклонной на эту прямую.

Главное свойство

Перпендикуляр, опущенный из точки на прямую, короче любой наклонной, проведённой из той же точки к этой прямой.

Поэтому перпендикуляр и считают кратчайшим расстоянием от точки до прямой. Это легко понять: перпендикуляр является катетом прямоугольного треугольника, а наклонная — его гипотенузой, которая всегда длиннее катета. Именно поэтому при измерении расстояния всегда выбирают перпендикуляр.

Сравнение наклонных

Если из одной точки провести две наклонные, то справедливо: большей наклонной соответствует большая проекция, и наоборот. Равные наклонные имеют равные проекции, поэтому равноудалённые точки на прямой дают равные наклонные.

Пример

Из точки A к прямой опущен перпендикуляр длиной 4 сантиметра и проведена наклонная длиной 5 сантиметров. Так как наклонная — гипотенуза прямоугольного треугольника, она длиннее перпендикуляра:

наклонная = 5 > перпендикуляр = 4

Значит, расстоянием от точки A до прямой будет именно 4 сантиметра — длина перпендикуляра, а не наклонной. Если из точки A провести ещё одну наклонную с большей проекцией, она окажется длиннее первой, но всё равно длиннее перпендикуляра.

Понятие расстояния от точки до прямой используют и для прямых: расстоянием между двумя параллельными прямыми называют длину перпендикуляра, опущенного из любой точки одной прямой на другую. Это расстояние одинаково в любой точке, поэтому параллельные прямые и называют равноудалёнными друг от друга.

Частые ошибки. Расстоянием от точки до прямой считают именно перпендикуляр, а не произвольный отрезок. Если точка лежит на самой прямой, расстояние равно нулю. Наклонная никогда не бывает короче перпендикуляра из той же точки.

Расстояние по уравнению прямой

Пусть в прямоугольной системе координат прямая задана уравнением ax + by + c = 0, где a и b не равны нулю одновременно. Для точки P = (x₀; y₀) расстояние до неё равно d = |ax₀ + by₀ + c|/√(a² + b²). Модуль обязателен: расстояние не бывает отрицательным. Формула не требует переходить к виду y = kx + m и работает также для вертикальных прямых.

Откуда берётся знаменатель

Вектор n = (a;b) перпендикулярен прямой. Если H — основание перпендикуляра, то H = P − tn. Подстановка H в уравнение даёт ax₀ + by₀ + c − t(a² + b²) = 0. Поэтому t = (ax₀ + by₀ + c)/(a² + b²), а PH = |t|·|n|, что и даёт формулу. Таким способом можно найти не только длину, но и само основание H.

Оригинальный пример

Для P = (2; −1) и прямой 3x − 4y − 5 = 0 числитель равен |6 + 4 − 5| = 5, знаменатель √(9 + 16) = 5. Ответ: d = 1. Здесь t = 5/25 = 1/5, поэтому H = (2; −1) − (3/5; −4/5) = (7/5; −1/5). Проверка: 3·7/5 − 4·(−1/5) − 5 = 0.

Проверьте себя: расстояние от (−2;3) до x = 4 равно |−2 − 4| = 6. Если точка удовлетворяет уравнению прямой, числитель равен нулю — точка уже на прямой.

Эта формула относится к расстоянию до бесконечной прямой. Для отрезка нужно проверить, попало ли H между его концами. Если нет, ближайшим будет один из концов; автоматически подставлять расстояние до прямой в задачу об отрезке нельзя.

Справочные материалы: Расстояние от точки до прямой — исходная тема. Связанные уроки: Метод координат, Векторы в пространстве.

Кратко о главном

• Перпендикуляр из точки на прямую образует с ней прямой угол.
• Наклонная соединяет точку с прямой, но не перпендикулярна ей.
• Перпендикуляр короче любой наклонной из той же точки.
• Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра.
• Большей наклонной соответствует большая проекция.