Площадь многоугольника через разбиение

Площадь многоугольника через разбиение

Площадь произвольного многоугольника не всегда можно найти по готовой формуле. Зато любой многоугольник можно разбить на простые фигуры — треугольники, прямоугольники, трапеции, — площади которых считать умеем. Этот приём опирается на основное свойство площади.

Свойство площади. Если фигура составлена из нескольких фигур без общих внутренних точек, то её площадь равна сумме площадей этих частей.

Как разбивать фигуру

Есть два основных способа найти площадь сложной фигуры:

• разбиение — фигуру делят на части и складывают их площади;
• дополнение — фигуру достраивают до удобного прямоугольника, а затем вычитают площади лишних частей.

Для многоугольника удобно проводить диагонали из одной вершины: они делят его на треугольники. Многоугольник с n вершинами так разбивается на n − 2 треугольника.

Разбор примера

Найдём площадь пятиугольника, который состоит из прямоугольника 6 на 4 и треугольника с основанием 6 и высотой 3, поставленного сверху наподобие крыши дома.

S_прямоугольника = 6 · 4 = 24
S_треугольника = (1/2) · 6 · 3 = 9
S_всей фигуры = 24 + 9 = 33

Если бы фигуру было удобнее достроить до прямоугольника, мы бы вычли площади угловых треугольников из площади большого прямоугольника — результат был бы тем же.

Площадь по клеткам

Если многоугольник изображён на клетчатой бумаге, его площадь часто считают именно методом дополнения. Фигуру обводят прямоугольником по крайним точкам, вычисляют его площадь по числу клеток, а затем вычитают площади угловых треугольников и трапеций, выступающих за контур фигуры. Этот приём не требует измерения сторон линейкой и часто встречается в проверочных работах.

Второй разбор примера

Найдём площадь четырёхугольника, который удобно разбить диагональю на два треугольника. Пусть первый треугольник имеет основание 8 и высоту 3, а второй — основание 8 и высоту 5.

S_1 = (1/2) · 8 · 3 = 12
S_2 = (1/2) · 8 · 5 = 20
S = S_1 + S_2 = 32

Частые ошибки. Берут разные единицы длины для разных частей. Забывают, что у частей не должно быть общих внутренних точек, иначе площадь посчитается дважды. Иногда путают высоту треугольника с его стороной, особенно когда высота проведена не к горизонтальной стороне.

Кратко о главном

• Площадь фигуры равна сумме площадей её частей без общих внутренних точек.
• Сложный многоугольник разбивают на треугольники, прямоугольники и трапеции.
• Многоугольник с n вершинами делится диагоналями на n − 2 треугольника.
• Можно достроить фигуру до прямоугольника и вычесть лишнее.
• Все измерения нужно брать в одних единицах.