Первый признак равенства треугольников
📏 Геометрия · 7 класс
Равенство треугольников по двум сторонам и углу между ними и его применение в задачах.
Первый признак равенства треугольников
Первый признак равенства треугольников утверждает: если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. Этот признак часто называют «по двум сторонам и углу между ними».
Формулировка и обозначения
Угол, расположенный между двумя данными сторонами, называют углом между сторонами. Именно он должен быть равен — это ключевое условие. Если равны углы, не лежащие между сторонами, признак не работает.
| Элемент | Первый треугольник | Второй треугольник |
|---|---|---|
| Сторона | AB | A₁B₁ |
| Сторона | AC | A₁C₁ |
| Угол между ними | ∠A | ∠A₁ |
Идея доказательства
Доказывают признак наложением. Один треугольник накладывают на другой так, чтобы совместились равные углы. Тогда стороны, выходящие из вершины этого угла, наложатся друг на друга, потому что они равны. Значит, совпадут и третьи вершины, а с ними и весь треугольник.
Дано: AB = A₁B₁, AC = A₁C₁, ∠A = ∠A₁.
Накладываем △ABC на △A₁B₁C₁:
вершина A → A₁, луч AB → A₁B₁, луч AC → A₁C₁.
Значит B → B₁ и C → C₁, треугольники совпали.Как применять в задачах
Чтобы доказать равенство треугольников по первому признаку, нужно найти в них две пары равных сторон и пару равных углов, лежащих между этими сторонами.
- Найди две стороны одного треугольника, равные сторонам другого.
- Проверь, что равный угол лежит именно между этими сторонами.
- Сделай вывод о равенстве треугольников.
Частая ошибка. Применять признак, когда равный угол лежит не между данными сторонами, а напротив одной из них. В этом случае первый признак неприменим, и равенство может не выполняться.
Пример рассуждения в задаче
Пусть отрезки пересекаются в точке и точкой деления делятся пополам. Тогда два образовавшихся треугольника часто оказываются равными по первому признаку. Равны половинки отрезков как стороны, а углы между ними равны как вертикальные. Из равенства треугольников затем выводят равенство нужных отрезков. Такой ход рассуждений встречается во многих задачах.
- Отметь равные стороны и обоснуй каждое равенство.
- Найди равный угол между ними и укажи причину равенства.
- Сделай вывод по первому признаку и используй следствия.
Что следует из равенства
После доказательства равенства треугольников можно утверждать, что равны и все остальные их соответственные элементы: третьи стороны и оставшиеся два угла. Этим часто пользуются, чтобы найти неизвестную величину. Поэтому признаки равенства — основной инструмент доказательств в курсе геометрии седьмого класса.
Кратко о главном
- Признак работает по двум сторонам и углу между ними.
- Угол должен лежать именно между равными сторонами.
- Доказательство проводят наложением.
- Из равенства следует равенство всех соответственных элементов.