Геометрия · 7 класс

Основные понятия геометрии 7 класс

Первоначальные (основные) понятия геометрии — точка, прямая и плоскость: их не определяют, а описывают. Планиметрия изучает фигуры на плоскости, стереометрия — в пространстве. Обозначения, аксиомы.

Углы 7 класс: виды, измерение, свойства

Угол — фигура из двух лучей с общим началом. Виды углов: острый (< 90°), прямой (90°), тупой (> 90°), развёрнутый (180°). Измерение транспортиром, смежные и вертикальные углы, задачи.

Треугольники

Классификация треугольников. Сумма углов треугольника = 180°.

Признаки равенства треугольников

Три признака равенства треугольников (ССС, СУС, УСУ). Следствия.

Равнобедренный треугольник: стороны и свойства

Равнобедренный треугольник — треугольник с двумя равными сторонами; они называются боковыми, третья — основанием. Углы при основании равны; свойства, признаки и задачи для 7 класса.

Параллельные прямые 7 класс

Параллельные прямые — прямые на плоскости, которые не пересекаются. Признаки параллельности (по накрест лежащим, соответственным и односторонним углам), аксиома, свойства, задачи.

Четырёхугольники

Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат, трапеция. Свойства.

Окружность

Окружность и круг, хорда, диаметр, касательная. Взаимное расположение прямой и окружности.

Сумма углов треугольника

Теорема о сумме углов треугольника: почему она равна 180 градусам и как её применять в задачах.

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним, поэтому он больше каждого из них. Определение, доказательство, чертёж и задачи для 7 класса.

Медиана, биссектриса и высота треугольника

Три замечательные линии треугольника: их определения, свойства и отличия друг от друга.

Прямоугольный треугольник

Элементы прямоугольного треугольника, его свойства и признаки равенства прямоугольных треугольников.

Неравенство треугольника: условие существования

Неравенство треугольника: каждая сторона меньше суммы двух других — это условие существования треугольника. Доказательство теоремы, как проверить, примеры и задачи для 7 класса.

Перпендикуляр и наклонная

Расстояние от точки до прямой, перпендикуляр и наклонная, свойство перпендикуляра как кратчайшего отрезка.

Задачи на построение циркулем и линейкой

Основные построения: отрезок, угол, биссектриса, серединный перпендикуляр и перпендикуляр к прямой.

Смежные углы: определение и свойства

Смежные углы — это два угла с общей стороной, две другие стороны которых образуют прямую; сумма смежных углов равна 180°. Доказательство, свойства, чем отличаются от вертикальных, задачи 7 класса.

Вертикальные углы: определение и доказательство равенства

Вертикальные углы — это углы, стороны одного из которых являются продолжениями сторон другого; вертикальные углы равны. Доказательство теоремы, чертёж, отличие от смежных, задачи 7 класса.

Признаки параллельности прямых

Три признака параллельности двух прямых, пересечённых секущей: по накрест лежащим, односторонним и соответственным углам.

Аксиома параллельных прямых и следствия из неё

Аксиома параллельных прямых: через точку, не лежащую на прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной. Два следствия с доказательством, чертежи и задачи для 7 класса.

Свойства равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, а биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой. Доказательство теорем, признаки и задачи для 7 класса.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Четыре признака равенства прямоугольных треугольников, в том числе по гипотенузе и катету.

Расстояние между параллельными прямыми

Что считают расстоянием между двумя параллельными прямыми и почему оно одинаково во всех точках.

Какая прямая называется касательной к окружности

Касательная — прямая, имеющая с окружностью одну общую точку; она перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания. Свойства, признак, отрезки касательных, задачи для 7 класса.

Измерение отрезков и углов 7 класс

Основное свойство длины отрезка: если точка делит отрезок на два, его длина равна сумме длин частей. Единицы измерения, измерение углов транспортиром, градусная мера — 7 класс.

Какая ломаная называется многоугольником

Многоугольником называется замкнутая ломаная без самопересечений вместе с частью плоскости, которую она ограничивает. Вершины, стороны, диагонали, периметр, выпуклые многоугольники — 7 класс.

Чем отличается луч от отрезка и от прямой

Отрезок имеет два конца, луч — начало и не имеет конца, прямая бесконечна в обе стороны. Как сравнить два отрезка (наложением или измерением), обозначения и задания 7 класса.

Что такое полуплоскость

Полуплоскость — это часть плоскости, лежащая по одну сторону от прямой; сама прямая называется границей полуплоскости и принадлежит ей. У плоскости границ нет. Свойства и примеры 7 класса.

Что такое биссектриса угла и её свойства

Биссектриса угла — это луч, выходящий из вершины угла и делящий его пополам. Свойство: точки биссектрисы равноудалены от сторон угла. Как построить биссектрису, задачи для 7 класса.

Острый, прямой и тупой углы

Классификация углов по величине: острый, прямой, тупой и развёрнутый угол.

Перпендикулярные прямые

Когда две прямые перпендикулярны, признак и свойства перпендикулярных прямых на плоскости.

Накрест лежащие, односторонние и соответственные углы

При пересечении двух прямых секущей образуются накрест лежащие углы (равны при параллельных прямых), односторонние (в сумме 180°) и соответственные (равны). Чертёж, признаки параллельности.

Равносторонний треугольник: чему равны углы

В равностороннем треугольнике все стороны равны и все углы равны по 60°. Свойства, чем отличается от равнобедренного, формулы высоты и площади, задачи для 7 класса.

Что такое катет и гипотенуза

Гипотенуза — сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла; катеты — две другие стороны, образующие прямой угол. Гипотенуза всегда длиннее катета; свойства и задачи для 7 класса.

Свойство катета против угла 30 градусов

Катет, лежащий против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы — свойство и доказательство.

Диаметр и радиус окружности

Основные элементы окружности: радиус, диаметр, хорда и связь между ними.

Серединный перпендикуляр к отрезку

Серединный перпендикуляр, его свойство равноудалённости точек и построение циркулем и линейкой.

Расстояние от точки до прямой

Как измеряют расстояние от точки до прямой и почему его задаёт длина перпендикуляра.

Второй признак равенства треугольников

Равенство треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам: формулировка и применение.

Третий признак равенства треугольников

Равенство треугольников по трём сторонам: формулировка, доказательство и задачи.

Сумма острых углов прямоугольного треугольника

Почему два острых угла прямоугольного треугольника в сумме дают 90 градусов.

Окружность, описанная около треугольника

Центр описанной окружности как точка пересечения серединных перпендикуляров сторон.

Окружность, вписанная в треугольник

Центр вписанной окружности как точка пересечения биссектрис углов треугольника.

Построение треугольника по трём сторонам

Как циркулем и линейкой построить треугольник по заданным длинам трёх сторон.

Построение угла, равного данному

Алгоритм построения угла, равного заданному, с помощью циркуля и линейки.

Построение перпендикуляра к прямой

Как построить прямую, перпендикулярную данной и проходящую через заданную точку.

Деление отрезка пополам

Построение середины отрезка циркулем и линейкой через серединный перпендикуляр.

Соотношения между сторонами и углами треугольника

Против большей стороны лежит больший угол и наоборот: правило и его следствия.

Признак равнобедренного треугольника

Если два угла треугольника равны, то он равнобедренный: формулировка и применение.

Что такое хорда окружности

Хорда — это отрезок, соединяющий две точки окружности; самая длинная хорда — диаметр. Свойства хорд, отличие от радиуса и диаметра, чертёж и задачи для 7 класса.

Точка, прямая и плоскость

Основные геометрические фигуры, через которые строятся все остальные понятия планиметрии.

Взаимное расположение двух прямых на плоскости

Когда прямые пересекаются, совпадают или параллельны, и сколько у них общих точек.

Градусная мера угла

Как измеряют углы в градусах, минутах и секундах и какие бывают виды углов по величине.

Какие фигуры называются равными

Равными называются фигуры, которые совпадают при наложении. Как проверить равенство отрезков, углов и треугольников, свойства равных фигур, примеры и задания 7 класса.

Первый признак равенства треугольников

Равенство треугольников по двум сторонам и углу между ними и его применение в задачах.

Перпендикуляр, опущенный из точки на прямую

Единственность перпендикуляра из точки на прямую и его роль как кратчайшего расстояния.

Остроугольный треугольник и другие виды по углам

Остроугольный треугольник — тот, у которого все три угла острые; прямоугольный имеет прямой угол, тупоугольный — тупой. Как определить вид, может ли остроугольный быть равнобедренным, примеры.

Виды треугольников по сторонам

Разносторонний, равнобедренный и равносторонний треугольники и различия между ними.

Биссектрисы углов треугольника

Свойства биссектрис треугольника, точка их пересечения и связанные с ними углы.

Взаимное расположение двух окружностей

Когда окружности пересекаются, касаются или не имеют общих точек в зависимости от расстояния между центрами.

Что называют длиной ломаной и периметром

Длиной ломаной называют сумму длин всех её звеньев; периметр многоугольника — сумма длин всех его сторон. Формулы периметра треугольника, квадрата, прямоугольника, примеры 7 класса.

Осевая симметрия фигур

Симметрия относительно прямой, ось симметрии и примеры симметричных геометрических фигур.

Дополнительные лучи: какие два луча называют дополнительными

Дополнительные лучи — это два луча с общим началом, лежащие на одной прямой и направленные в разные стороны; каждый является продолжением другого. Определение, свойства, чертёж и задания 7 класса.

Сложение и вычитание отрезков

Как складывать и вычитать отрезки геометрически и как находить их части через равенство.

Внутренняя и внешняя область угла

Какие точки лежат внутри угла, а какие снаружи, и как это помогает в доказательствах.

Как сравнить два угла

Сравнить два угла можно наложением: равные углы совпадают при наложении, либо измерением транспортиром. Свойства равных углов, биссектриса, примеры и задания 7 класса.

Что такое теорема и доказательство

Из чего состоит теорема, чем условие отличается от заключения и как строится доказательство.

Аксиомы геометрии 7 класс: список

Аксиома — утверждение, принимаемое без доказательства. Основные аксиомы планиметрии: через две точки проходит единственная прямая, аксиома параллельных прямых и другие — полный список с пояснениями.

Обратная теорема

Как из теоремы получить обратную и почему обратное утверждение не всегда верно.

Чем признак отличается от свойства

Почему важно различать признак фигуры и её свойство и как не перепутать их в задаче.

Углы при пересечении двух прямых

Какие четыре угла образуются при пересечении прямых и как они связаны между собой.

Совпадение медианы, высоты и биссектрисы

Почему в равнобедренном треугольнике эти три линии, проведённые к основанию, совпадают.

Как выбрать признак равенства треугольников

По каким данным определить, какой из трёх признаков равенства применить в задаче.

Геометрическое место точек

Что такое геометрическое место точек и как описать множество точек с заданным свойством.

Окружность как геометрическое место точек

Почему окружность — это множество точек, равноудалённых от центра, и как это применяют.

Высоты остроугольного и тупоугольного треугольника

Где лежат основания высот в разных треугольниках и почему высота может выходить за фигуру.