Свойства хорд окружности
📏 Геометрия · 9 класс
Связь хорды, диаметра и расстояния до центра, равные хорды и перпендикуляр из центра к хорде.
Хорда окружности
Хорда — это отрезок, соединяющий две точки окружности. Самая длинная хорда проходит через центр и называется диаметром: её длина равна удвоенному радиусу. Изучение свойств хорд помогает решать задачи на расстояния, углы, площади и доказывать равенство фигур. Хорда делит круг на два сегмента, а окружность — на две дуги, поэтому свойства хорд тесно связаны со свойствами дуг.
Перпендикуляр из центра к хорде
Диаметр или радиус, перпендикулярный хорде, делит эту хорду пополам. Верно и обратное: диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен ей.
Если O — центр, а отрезок OH — перпендикуляр, опущенный из центра на хорду AB, то точка H является серединой хорды, то есть AH = HB. Это свойство — основа большинства вычислений: оно позволяет находить длину хорды через радиус и расстояние от центра до неё с помощью прямоугольного треугольника.
Равные хорды
Равные хорды одной окружности одинаково удалены от центра. И наоборот: хорды, равноудалённые от центра, равны между собой.
Из этого свойства вытекает важное наблюдение: чем ближе хорда расположена к центру, тем она длиннее. Диаметр — предельный случай, когда расстояние до центра равно нулю и длина максимальна. По мере удаления хорды от центра её длина уменьшается, и в пределе хорда вырождается в точку касания.
Расстояние до центра d | Длина хорды |
|---|---|
d = 0 | Максимальна (диаметр) |
d растёт | Уменьшается |
d = R | Стремится к нулю (касание) |
Разбор примера
В окружности радиуса R = 13 расстояние от центра до хорды равно d = 5. Найдём длину хорды. Соединим центр с концом хорды — получится радиус, который служит гипотенузой прямоугольного треугольника. Катетами будут расстояние d и половина хорды.
Решение запишем так: (AB/2)² = R² − d², отсюда (AB/2)² = 169 − 25 = 144, значит AB/2 = 12, и окончательно AB = 24. Обратите внимание, что мы нашли половину хорды, а затем удвоили результат.
Частые ошибки. Половину хорды находят по теореме Пифагора, а потом обязательно удваивают — забыть умножить на 2 значит получить вдвое меньший ответ. Ещё одна типичная ошибка — путать расстояние от центра до хорды с самим радиусом.
Дополнительные следствия
Из перечисленных свойств вытекает ещё несколько полезных фактов. Серединный перпендикуляр любой хорды обязательно проходит через центр окружности, поэтому, имея две хорды, можно построить центр как точку пересечения их серединных перпендикуляров. Этот приём применяют, когда центр окружности на чертеже не отмечен, но известны несколько её точек. Кроме того, если две параллельные хорды лежат в одной окружности, то дуги, заключённые между ними, равны между собой. Все эти следствия превращают хорду в удобный инструмент для доказательств и построений.
Кратко о главном
- Хорда соединяет две точки окружности, диаметр — самая длинная хорда.
- Перпендикуляр из центра делит хорду пополам.
- Равные хорды равноудалены от центра, и наоборот.
- Длина хорды вычисляется как
AB = 2·√(R² − d²).