Площадь ортогональной проекции многоугольника

Площадь ортогональной проекции многоугольника

Если плоский многоугольник спроецировать на плоскость перпендикулярными к ней лучами, получится новый плоский многоугольник — его ортогональная проекция. Оказывается, площадь проекции связана с площадью исходной фигуры простой и важной формулой, которую применяют в задачах о наклонных сечениях.

Ортогональное проектирование

Ортогональная проекция точки на плоскость — это основание перпендикуляра, опущенного из данной точки на плоскость. Проекцией многоугольника называют фигуру, составленную из проекций всех его точек. Если исходный многоугольник параллелен плоскости проекции, его проекция равна ему самому. Чем сильнее наклонена плоскость фигуры, тем сильнее проекция «сжимается».

Теорема о площади проекции

Теорема. Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна площади самого многоугольника, умноженной на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.

S_проекции = S · cos φ

Здесь S — площадь исходного многоугольника, S_проекции — площадь его проекции, а φ — двугранный угол между плоскостью фигуры и плоскостью проекции. Сжатие происходит только в направлении наклона, поэтому появляется множитель cos φ.

Разбор примера

Пусть треугольник с площадью S = 12 наклонён к плоскости проекции под углом 60°. Тогда площадь его проекции равна:

S_проекции = 12 · cos 60° = 12 · 0,5 = 6

Формулу можно применять и в обратную сторону. Если известны площади фигуры и её проекции, то угол наклона находится так:

cos φ = S_проекции / S

Например, если S = 8, а S_проекции = 4, то cos φ = 0,5, откуда φ = 60°. Так задача о наклоне грани сводится к вычислению двух площадей.

Теорема особенно полезна, когда проекцию найти проще, чем саму фигуру. Допустим, наклонное сечение призмы — многоугольник сложной формы, а его проекция на основание совпадает с основанием площадью S_проекции = 20. Если известен угол наклона секущей плоскости φ = 45°, то площадь самого сечения равна S = S_проекции / cos φ = 20 / cos 45° ≈ 28,3. Так удаётся вычислить площадь наклонной фигуры, измерив только её «тень» на горизонтальной плоскости и угол наклона.

Частая ошибка. В формуле берётся угол между плоскостями, а не между сторонами фигуры или какими-либо прямыми. Косинус нуля даёт совпадение фигуры и проекции, а косинус прямого угла обращает площадь в ноль — проекция вырождается в отрезок.

Кратко о главном

• Проекция точки — основание перпендикуляра на плоскость.
• Площадь проекции равна S · cos φ.
• φ — двугранный угол между плоскостью фигуры и плоскостью проекции.
• Формула позволяет находить и площадь, и угол наклона.
• При φ = 90° проекция вырождается в отрезок.