Вертикальные углы: определение и доказательство равенства
📏 Геометрия · 7 класс
Вертикальные углы — это углы, стороны одного из которых являются продолжениями сторон другого; вертикальные углы равны. Доказательство теоремы, чертёж, отличие от смежных, задачи 7 класса.
Определение вертикальных углов
Вертикальными называются два угла, у которых стороны одного угла являются продолжениями сторон другого. Такие углы возникают при пересечении двух прямых: в точке пересечения образуются четыре угла, и они разбиваются на две пары вертикальных. Название «вертикальные» не связано с направлением вверх или вниз — оно лишь подчёркивает, что углы расположены вершина к вершине.
Вертикальные углы расположены «крест-накрест» относительно точки пересечения. У них общая вершина, но нет общей стороны — этим они отличаются от смежных углов, у которых одна сторона всегда общая.
Свойство вертикальных углов
Теорема. Вертикальные углы равны.
Это одно из важнейших свойств, которое используют почти в каждой задаче на пересекающиеся прямые. Благодаря ему, найдя один из четырёх углов, мы сразу знаем все остальные.
Доказательство
Пусть две прямые пересекаются и образуют углы. Обозначим один из углов через a, а соседний с ним смежный угол — через b. Тогда по свойству смежных углов:
a + b = 180
Угол, вертикальный к a, также является смежным с углом b, поэтому он равен 180 − b. Но из первого равенства 180 − b = a. Значит, вертикальный угол равен a, что и требовалось доказать. Это короткое и красивое доказательство опирается только на свойство смежных углов.
Углы при пересечении прямых
В таблице собраны соотношения между углами, которые образуются при пересечении двух прямых.
| Пара углов | Соотношение |
|---|---|
| Вертикальные | равны |
| Смежные | сумма 180° |
При пересечении двух прямых из четырёх углов два равны между собой и два других тоже равны между собой; соседние пары связаны как смежные. Поэтому достаточно знать один угол, чтобы восстановить все четыре.
Разбор примера
Один из углов при пересечении прямых равен 40 градусам. Найдём остальные три угла.
- Вертикальный ему угол равен
40°. - Каждый смежный с ним угол равен
180 − 40 = 140°. - Вертикальный к этому смежному — тоже
140°.
Таким образом, получились два угла по 40° и два угла по 140°. Проверим: соседние углы дают 40 + 140 = 180° — условие смежности выполнено, а противоположные углы равны между собой — выполнено условие вертикальности. Заметим, что сумма всех четырёх углов равна полному углу: 40 + 140 + 40 + 140 = 360°. Это ещё один способ проверить, что мы нашли углы правильно.
Частые ошибки. Вертикальные углы равны, но не дают в сумме 180°. Не относите к вертикальным соседние углы — у вертикальных нет общей стороны. И помните: равенство вертикальных углов — это доказанная теорема, а не очевидный факт.Кратко о главном
- Вертикальные углы образуются при пересечении двух прямых.
- Стороны одного угла продолжают стороны другого.
- Вертикальные углы всегда равны между собой.
- При пересечении прямых получаются две пары равных углов.
- Зная один угол, можно найти все четыре.
Частые вопросы
Какие углы называются вертикальными?
Вертикальными называются два угла, у которых стороны одного являются продолжениями сторон другого. Они образуются при пересечении двух прямых: из четырёх получившихся углов две пары — вертикальные.
Каким свойством обладают вертикальные углы?
Вертикальные углы равны. Доказательство: каждый из них смежен с одним и тем же третьим углом, а сумма смежных равна 180°, значит оба равны 180° минус этот угол, то есть равны между собой.