Деление отрезка пополам циркулем

Деление отрезка пополам циркулем

Одна из основных задач на построение — разделить отрезок пополам, то есть найти его середину, пользуясь только циркулем и линейкой без делений. Заодно это построение даёт серединный перпендикуляр — прямую, перпендикулярную отрезку и проходящую через его середину.

Серединный перпендикуляр

Важное свойство серединного перпендикуляра: каждая его точка одинаково удалена от концов отрезка. Это свойство и лежит в основе построения.

Свойство. Точка равноудалена от концов отрезка тогда и только тогда, когда она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

Порядок построения

1. Поставить ножку циркуля в один конец отрезка и провести дугу радиусом больше половины отрезка.
2. Тем же радиусом провести дугу из второго конца отрезка.
3. Дуги пересекутся в двух точках по разные стороны от отрезка.
4. Через эти две точки провести прямую — это серединный перпендикуляр.
5. Точка пересечения прямой с отрезком и есть его середина.

Почему построение верно

Обе точки пересечения дуг равноудалены от концов отрезка, потому что построены одним и тем же радиусом. Значит, обе они лежат на серединном перпендикуляре. А прямая, проходящая через две такие точки, и есть серединный перпендикуляр.

радиус дуг одинаков → точки равноудалены от концов → лежат на серединном перпендикуляре

Связанные построения

Умея делить отрезок пополам, легко выполнять и другие построения. Например, опустить перпендикуляр из точки на прямую или восставить перпендикуляр в заданной точке прямой можно теми же дугами равного радиуса. Деление отрезка пополам также позволяет находить середину стороны треугольника при построении медианы или средней линии.

Деление на четыре части

Если разделить отрезок пополам, а затем каждую половину снова пополам тем же способом, отрезок окажется разделённым на четыре равные части. Повторяя приём, отрезок можно поделить на 8, 16 и далее на число частей, равное степени двойки. Так одно простое построение становится основой для более сложных.

Частые ошибки. Берут радиус меньше половины отрезка — тогда дуги не пересекутся. Меняют раствор циркуля между двумя дугами, из-за чего точки получаются неравноудалёнными и построение неверно. Иногда проводят прямую лишь через одну точку пересечения, хотя для перпендикуляра нужны обе точки.

Кратко о главном

• Середину отрезка строят циркулем и линейкой без делений.
• Точки серединного перпендикуляра равноудалены от концов отрезка.
• Дуги проводят одним радиусом, большим половины отрезка, из обоих концов.
• Прямая через точки пересечения дуг — серединный перпендикуляр.
• Пересечение этой прямой с отрезком даёт его середину.