Свойство внешнего угла треугольника
📏 Геометрия · 8 класс
Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним, и больше каждого из них. Определение, доказательство, чертёж и задачи для 8 класса.
Внешний угол треугольника
Внешним углом треугольника называют угол, смежный с каким-либо внутренним углом этого треугольника. Чтобы построить внешний угол, нужно продолжить одну из сторон треугольника за вершину. Угол между продолжением стороны и соседней стороной и будет внешним.
У каждой вершины треугольника можно построить два внешних угла — они вертикальны и потому равны между собой. Внешний угол и смежный с ним внутренний угол в сумме дают 180 градусов.
Теорема о внешнем угле
Теорема. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
Доказать это легко. Сумма всех трёх углов треугольника равна 180 градусам. Внешний угол вместе со смежным внутренним тоже даёт 180 градусов. Значит, внешний угол равен сумме двух оставшихся внутренних углов.
| Внутренние углы | Внешний угол при третьей вершине |
|---|---|
| 40° и 60° | 100° |
| 30° и 90° | 120° |
| 55° и 65° | 120° |
Разбор примера
В треугольнике два внутренних угла равны 35 и 80 градусам. Найдём внешний угол при третьей вершине.
внешний угол = 35° + 80° = 115°Проверим по-другому. Третий внутренний угол равен 180° − 35° − 80° = 65°. Смежный с ним внешний угол равен 180° − 65° = 115°. Ответы совпали.
Полезное следствие
Из теоремы вытекает, что внешний угол треугольника больше каждого из двух не смежных с ним внутренних углов. Это свойство используют при сравнении углов и доказательстве неравенств в треугольнике.
Сумма внешних углов
Если у каждой вершины треугольника взять по одному внешнему углу, то их сумма равна 360 градусам. Это легко проверить: каждый внешний угол дополняет свой внутренний до 180 градусов, всего таких пар три, значит, сумма внешних и внутренних углов равна 3 · 180° = 540°. Вычитая сумму внутренних углов 180 градусов, получаем 540° − 180° = 360°. Это правило верно не только для треугольника, но и для любого выпуклого многоугольника.
Применение в задачах
Теорема о внешнем угле помогает быстро находить углы, когда продолжена одна из сторон треугольника. Она удобна в задачах с биссектрисами и параллельными прямыми, где требуется выразить один угол через другие без вычисления всех трёх внутренних углов по очереди.
Частые ошибки. Складывают внешний угол со всеми тремя внутренними. Также путают, какие именно внутренние углы не смежны — это два угла при других двух вершинах, а не смежный с внешним. Иногда забывают, что у одной вершины два внешних угла, и берут не тот из них.
Тренировка: внутренние и внешние углы
Решите редакционные задачи без измерения рисунка. Сначала укажите, какие углы внутренние и какой внешний угол смежен с данным. Во всех задачах рассматривается невырожденный треугольник на евклидовой плоскости.
- В прямоугольном треугольнике один острый угол равен 28°. Найдите второй острый угол и смежный с ним внешний.
- Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 46°. Найдите внешний угол при основании.
- Внешний угол при C равен 128°, а внутренний угол A равен 51°. Найдите B и C.
- Два внешних угла при разных вершинах равны 105° и 140°. Найдите третий внешний угол и все внутренние.
- В треугольнике A = 2x, B = 3x, внешний при C равен 115°. Найдите x и C.
- Верно ли, что внешний угол больше любого внутреннего?
Ответы с объяснениями
- Второй острый равен 90° − 28° = 62°, смежный внешний — 118°.
- При основании (180° − 46°)/2 = 67°. Внешний равен 113°.
- По теореме о внешнем угле B = 128° − 51° = 77°. Угол C = 180° − 128° = 52°.
- Третий внешний 360° − 105° − 140° = 115°. Внутренние соответственно 75°, 40°, 65°; сумма 180°.
- 2x + 3x = 115°, поэтому x = 23°, C = 65°.
- Нет. Внешний больше каждого из двух несмежных внутренних. При внутренних углах 120°, 30°, 30° внешний при вершине 120° равен 60° и меньше смежного внутреннего.
Если ответ не сошёлся, проверьте не только арифметику, но и выбранную вершину. Для внешнего угла суммируют два внутренних угла при других вершинах, а не два произвольно взятых.
Справочные материалы: Внешний угол треугольника — исходная тема. Связанные уроки: Аксиомы геометрии, Площадь треугольника.
Кратко о главном
- Внешний угол смежен с внутренним углом треугольника.
- Внешний и смежный внутренний углы дают в сумме 180 градусов.
- Внешний угол равен сумме двух не смежных с ним внутренних углов.
- Внешний угол больше каждого из этих двух внутренних углов.
- Два внешних угла при одной вершине равны как вертикальные.