Четыре замечательные точки треугольника

Четыре замечательные точки треугольника

В каждом треугольнике есть четыре особые точки, в которых пересекаются важные линии. Их называют замечательными точками треугольника. Замечательно то, что три линии каждого типа всегда пересекаются в одной точке, хотя для трёх произвольных прямых это вовсе не обязательно.

Список точек

1. Точка пересечения биссектрис — инцентр. Это центр вписанной окружности; она равноудалена от всех сторон треугольника.
2. Точка пересечения серединных перпендикуляров — центр описанной окружности. Она равноудалена от всех вершин треугольника.
3. Точка пересечения высот — ортоцентр.
4. Точка пересечения медиан — центроид, или центр тяжести треугольника.

Почему биссектрисы дают центр вписанной окружности

Каждая точка биссектрисы равноудалена от двух сторон угла. Точка пересечения всех трёх биссектрис равноудалена сразу от всех трёх сторон, поэтому в неё можно поместить центр окружности, касающейся всех сторон, — вписанной окружности.

Свойство медиан

Точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении 2 : 1, считая от вершины. Это значит, что отрезок от вершины вдвое длиннее отрезка до середины стороны.

Разбор примера

Медиана треугольника равна 9 см. Найдём, на какие части делит её центроид.

Часть от вершины = (2/3) * 9 = 6 см; часть до стороны = (1/3) * 9 = 3 см

Особые случаи равностороннего треугольника

В равностороннем треугольнике все четыре замечательные точки совпадают в одной точке — его центре. Это происходит потому, что биссектриса, медиана, высота и серединный перпендикуляр для каждой стороны совпадают. В равнобедренном треугольнике совпадают эти линии только для основания, поэтому все четыре точки лежат на одной прямой — оси симметрии. А вот в произвольном треугольнике все четыре точки, как правило, различны. Замечательно, что центр описанной окружности, центроид и ортоцентр любого треугольника всегда лежат на одной прямой, которую называют прямой Эйлера, и центроид делит отрезок между двумя из них в отношении 2 : 1.

Частые ошибки. Центр вписанной окружности задают биссектрисы, а центр описанной — серединные перпендикуляры; их легко перепутать. Отношение 2 : 1 для медиан считают именно от вершины, а не от середины стороны. У тупоугольного треугольника ортоцентр и центр описанной окружности лежат вне треугольника.

Прямая Эйлера: порядок точек и отношение

Обозначим O — центр описанной окружности, G — центроид, H — ортоцентр. Для неравностороннего треугольника эти точки лежат на одной прямой, причём OG:GH = 1:2, а G находится между O и H. Инцентр I в общем случае на эту прямую не попадает.

Координатная идея доказательства

Выберем начало координат в O и обозначим радиус-векторы вершин a,b,c. Их длины равны R. Рассмотрим точку с вектором h = a + b + c. Тогда AH имеет вектор b + c, а BC — c − b. Их скалярное произведение (b + c)·(c − b) = |c|² − |b|² = 0. Следовательно, AH перпендикулярна BC; аналогично получаются остальные высоты. Значит, h задаёт ортоцентр.

Вектор центроида g = (a + b + c)/3 = h/3. Поэтому OG = OH/3, GH = 2OH/3, то есть OG:GH = 1:2. Если O совпадает с H, совпадает и G; это равносторонний случай, в котором единственную прямую по совпавшим точкам определить нельзя.

Оригинальный числовой пример

Пусть O = (0;0), H = (6; −3). Тогда G = (2; −1), OG = √5, GH = 2√5. Зная координаты центроида и центра описанной окружности, ортоцентр можно найти по формуле H = 3G − 2O, которая работает и при начале координат вне O.

Проверка терминов: ортоцентр задаётся высотами, центр описанной окружности — серединными перпендикулярами. У тупоугольного треугольника обе эти точки находятся снаружи; центроид остаётся внутри. Не заменяйте отношение OG:GH на 2:1: большая часть прилегает именно к H.

Справочные материалы: Четыре замечательные точки треугольника — исходная тема. Связанные уроки: Векторы в пространстве, Метод координат.

Кратко о главном

• Биссектрисы пересекаются в центре вписанной окружности (инцентре).
• Серединные перпендикуляры — в центре описанной окружности.
• Высоты пересекаются в ортоцентре, медианы — в центроиде.
• Центроид делит медианы в отношении 2 : 1 от вершины.