Прямоугольник и квадрат
📏 Геометрия · 8 класс
Особые параллелограммы: свойства диагоналей прямоугольника и квадрата, их признаки и площадь.
Прямоугольник и квадрат среди параллелограммов
Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые. Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны (то есть одновременно и прямоугольник, и ромб). Обе фигуры — частные виды параллелограмма, поэтому обладают всеми его свойствами и добавляют к ним свои.
Понимание иерархии четырёхугольников помогает не заучивать свойства по отдельности, а выводить их. Квадрат «забирает» лучшее у прямоугольника и ромба сразу.
Свойство диагоналей прямоугольника
У параллелограмма диагонали лишь делятся пополам. У прямоугольника добавляется важное условие.
Диагонали прямоугольника равны. И обратно: если в параллелограмме диагонали равны, то это прямоугольник.
Поскольку диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, эта точка одинаково удалена от всех четырёх вершин. Значит, около любого прямоугольника можно описать окружность с центром в точке пересечения диагоналей. Радиус этой окружности равен половине диагонали. Это свойство часто используют в задачах: если четырёхугольник вписан в окружность так, что его диагональ проходит через центр, перед нами почти наверняка прямоугольник.
Ещё одно следствие равенства диагоналей: они делят прямоугольник на четыре равнобедренных треугольника, у которых боковые стороны — половинки диагоналей. Это помогает находить углы между диагоналями, зная углы при основании.
Свойства квадрата
Квадрат объединяет признаки прямоугольника и ромба, поэтому его диагонали:
- равны (как у прямоугольника);
- перпендикулярны (как у ромба);
- являются биссектрисами углов и делятся пополам.
Сравнение фигур
| Свойство | Прямоугольник | Квадрат |
|---|---|---|
| Все углы прямые | да | да |
| Все стороны равны | нет | да |
| Диагонали равны | да | да |
| Диагонали перпендикулярны | нет | да |
| Площадь | S = a · b | S = a² |
Разбор примера
Стороны прямоугольника равны 5 и 12 сантиметрам. Найдём длину диагонали.
Диагональ — гипотенуза прямоугольного треугольника
с катетами 5 и 12.
d = √(5² + 12²) = √(25 + 144) = √169 = 13 см.Заметим: диагональ прямоугольника всегда находится по теореме Пифагора, ведь стороны перпендикулярны. По той же причине радиус описанной окружности здесь равен половине диагонали, то есть шести с половиной сантиметрам. Для квадрата со стороной a диагональ считается ещё проще: она равна стороне, умноженной на корень из двух.
Частые ошибки. Не каждый параллелограмм с равными диагоналями — квадрат: это лишь прямоугольник. Чтобы получить квадрат, нужно ещё и перпендикулярность диагоналей либо равенство сторон.
Кратко о главном
- Прямоугольник — параллелограмм с прямыми углами; его диагонали равны.
- Квадрат — это и прямоугольник, и ромб одновременно.
- Диагонали квадрата равны, перпендикулярны и делят углы пополам.
- Около прямоугольника всегда можно описать окружность.