Геометрия · 11 класс

Координаты в пространстве: система координат

Положение точки в пространстве задают тремя координатами (x; y; z) относительно трёх взаимно перпендикулярных осей. Координаты вектора, расстояние между точками, середина отрезка — формулы.

Векторы в пространстве

Координаты вектора, скалярное произведение, угол между векторами.

Уравнение плоскости

Общее уравнение плоскости, нормальный вектор, расстояние от точки до плоскости.

Правильные многогранники

Платоновы тела: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.

Сечения многогранников

Построение сечений, сечения плоскостями, параллельными граням.

Объём призмы и параллелепипеда

Как вычислять объём прямой и наклонной призмы, прямоугольного параллелепипеда и куба через площадь основания и высоту.

Объём пирамиды и усечённой пирамиды

Формула одной трети произведения площади основания на высоту и объём усечённой пирамиды для задач стереометрии.

Цилиндр: площадь поверхности и объём

Прямой круговой цилиндр, его осевое сечение, боковая и полная поверхность, формула объёма в задачах ЕГЭ.

Конус и усечённый конус

Образующая, осевое сечение, развёртка, площадь поверхности и объём конуса и усечённого конуса.

Шар и сфера: площадь поверхности и объём

Сфера как поверхность, шар как тело, формулы площади сферы и объёма шара, сечения и касательная плоскость.

Угол между прямой и плоскостью

Определение угла через проекцию наклонной, теорема о трёх перпендикулярах и приёмы вычисления в координатах.

Двугранный угол и угол между плоскостями

Линейный угол двугранного угла, угол между плоскостями и способы его нахождения, в том числе через нормали.

Касательная плоскость к сфере

Признак касательной плоскости к сфере, её свойства и решение задач на расстояние от центра до плоскости.

Сфера, вписанная в многогранник

Условие существования вписанной сферы и формула её радиуса через объём и площадь поверхности многогранника.

Сфера, описанная около многогранника

Положение центра описанной сферы, его построение для призмы и пирамиды и вычисление радиуса.

Комбинация цилиндра и сферы

Сфера, вписанная в цилиндр и описанная около него: связь радиусов, высоты и нахождение объёмов.

Комбинация конуса и сферы

Вписанная и описанная сферы для конуса: осевое сечение, формулы радиусов и отношение объёмов.

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Понятие общего перпендикуляра и методы нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми в пространстве.

Площадь ортогональной проекции многоугольника

Теорема о площади проекции плоской фигуры и её применение к нахождению площадей сечений.

Теорема Эйлера для многогранников

Соотношение между числом вершин, рёбер и граней выпуклого многогранника и его применение.

Площадь поверхности призмы и параллелепипеда

Формулы боковой и полной поверхности прямой и наклонной призмы, разбор типовых задач.

Координатный метод в задачах стереометрии

Применение прямоугольных координат для вычисления расстояний, углов и объёмов пространственных тел.

Наклонная призма: объём и площадь

Наклонная призма — призма, боковые рёбра которой не перпендикулярны основанию. Объём V = S_осн · h (высота, не ребро); площадь боковой поверхности — периметр перпендикулярного сечения на ребро.

Шаровой сегмент, слой и сектор

Определения частей шара и формулы объёмов шарового сегмента, слоя и сектора.

Подобие тел и отношение объёмов

Как при подобии пространственных фигур меняются длины, площади и объёмы.

Симметрия в пространстве

Центральная, осевая и зеркальная симметрия пространственных фигур и их элементы.

Развёртки многогранников и тел вращения

Построение развёрток призмы, пирамиды, цилиндра и конуса и расчёт длин по развёртке.

Тетраэдр и его свойства

Медианы, центр тяжести и объём тетраэдра, связь рёбер и граней.

Параллельное проектирование

Свойства параллельного проектирования и изображение пространственных фигур на плоскости.

Тела вращения: получение и объём

Как фигуры образуют тела вращения и как считать их объём и площадь поверхности.

Площадь сферического пояса и сегмента

Формула площади поверхности шарового сегмента и пояса через высоту и радиус.

Угол между скрещивающимися прямыми

Определение и способы нахождения угла между скрещивающимися прямыми в пространстве.

Призматические и пирамидальные поверхности

Образование многогранных поверхностей и классификация выпуклых многогранников.

Расстояние от точки до плоскости

Определение и методы вычисления расстояния от точки до плоскости в пространстве.