Симметрия в пространстве
📏 Геометрия · 11 класс
Центральная, осевая и зеркальная симметрия пространственных фигур и их элементы.
Симметрия пространственных фигур
Симметрия — это свойство фигуры совмещаться сама с собой при некотором геометрическом преобразовании. Симметрия помогает классифицировать многогранники и тела вращения и упрощает решение многих задач. В пространстве различают три основных вида симметрии: центральную (относительно точки), осевую (относительно прямой) и зеркальную (относительно плоскости).
Виды симметрии
Центральная симметрия относительно точки O устроена так: каждой точке A фигуры ставится в соответствие такая точка A_1, что точка O является серединой отрезка AA_1. Точка O называется центром симметрии. Фигура центрально-симметрична, если вместе с каждой своей точкой содержит и симметричную ей точку.
Осевая симметрия в пространстве — это поворот фигуры на 180° вокруг прямой, называемой осью симметрии. При этом каждая точка переходит в точку, симметричную ей относительно оси, а сама ось остаётся неподвижной. Зеркальная симметрия относительно плоскости переводит каждую точку в точку, симметричную ей относительно этой плоскости, которая называется плоскостью симметрии. Это похоже на отражение в зеркале.
| Фигура | Центр | Оси | Плоскости |
|---|---|---|---|
| Куб | есть | 9 осей | 9 плоскостей |
| Правильная пирамида | нет | 1 ось | несколько |
| Шар | центр | бесконечно много | бесконечно много |
Правило: фигура имеет центр симметрии, если для каждой её точки точка, симметричная ей относительно центра, тоже принадлежит фигуре. Если хотя бы одна точка нарушает это условие, центра симметрии нет.
Разобранный пример
Рассмотрим куб с центром O. Все его диагонали пересекаются в одной точке, которая и является центром O. Проверим, что это центр симметрии.
Куб с центром O.
Диагонали куба пересекаются в точке O.
O — центр симметрии: каждая вершина переходит
в противоположную вершину, каждое ребро —
в параллельное ему противоположное ребро.У куба насчитывается 9 плоскостей симметрии: три из них проходят через середины рёбер параллельно граням, а ещё шесть — через пары противоположных рёбер. Осей симметрии тоже девять: три проходят через центры противоположных граней, четыре — через противоположные вершины по диагоналям куба, и ещё шесть — через середины противоположных рёбер. Такое богатство симметрий делает куб одной из самых «правильных» фигур и объясняет, почему его так удобно использовать в координатных задачах.
Частые ошибки: считают, что любая правильная фигура обязательно имеет центр симметрии (у правильной пирамиды его нет); путают осевую симметрию в пространстве, то есть поворот на 180°, с зеркальной симметрией относительно плоскости.
Кратко о главном
- Центральная симметрия — относительно точки, осевая — относительно прямой, зеркальная — относительно плоскости.
- Шар обладает всеми видами симметрии в наибольшей степени.
- Куб имеет центр симметрии, 9 осей и 9 плоскостей симметрии.