Движения в геометрии
📏 Геометрия · 9 класс
Осевая и центральная симметрия, поворот, параллельный перенос.
Что такое движение
Движение (или перемещение) в геометрии — это преобразование плоскости, которое сохраняет расстояния между точками. Если фигуру передвинуть с помощью движения, она наложится сама на себя «как есть»: размеры и форма не меняются, меняется только положение. Поэтому при движении фигура переходит в равную ей фигуру.
Главное свойство: движение сохраняет длины отрезков, величины углов и площади. Различают четыре основных вида движений.
Виды движений
| Вид | Что задаёт | Как работает |
|---|---|---|
| Осевая симметрия | Прямая (ось) | Каждая точка отражается относительно оси, как в зеркале |
| Центральная симметрия | Точка (центр) | Каждая точка переходит в точку по другую сторону центра на том же расстоянии |
| Параллельный перенос | Вектор | Все точки сдвигаются на один и тот же вектор |
| Поворот | Точка и угол | Фигура поворачивается вокруг центра на заданный угол |
Осевая и центральная симметрия
При осевой симметрии ось является серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему точку с её образом. Фигура называется симметричной относительно оси, если она переходит в себя (пример — равнобедренный треугольник). При центральной симметрии центр является серединой отрезка между точкой и её образом; это то же самое, что поворот на 180°.
Параллельный перенос и поворот
Параллельный перенос задаётся вектором: каждая точка сдвигается на этот вектор, все точки движутся в одном направлении на одно расстояние. Так перемещается, например, эскалатор: каждая ступенька повторяет путь предыдущей. Поворот задаётся центром и углом: фигура поворачивается вокруг неподвижной точки. Поворот стрелки часов вокруг оси — наглядный пример. Центральная симметрия — поворот на 180°. Осевая симметрия является самостоятельным видом движения и меняет ориентацию фигуры.
Симметрия вокруг нас
Симметрия встречается повсюду: в строении бабочки и листа (осевая), в снежинке и цветке (поворотная), в орнаментах и узорах обоев (перенос). Понимание движений помогает не только в геометрии, но и в искусстве, архитектуре, дизайне. Главная мысль: все движения сохраняют форму и размеры, меняя лишь расположение фигуры на плоскости.
Пример
Точка A(3; 5). Найти её образы.
1) Симметрия относительно оси Ox: меняем знак y → A₁(3; −5).
2) Симметрия относительно оси Oy: меняем знак x → A₂(−3; 5).
3) Центральная симметрия относительно начала O(0;0):
меняем знаки обеих координат → A₃(−3; −5).
4) Параллельный перенос на вектор (2; −1):
A₄(3+2; 5−1) = A₄(5; 4).
Полезное правило. Движение НИКОГДА не меняет размеры фигуры — оно даёт равную фигуру. Не путай движение с подобием: подобие меняет масштаб, а движение — только положение. Центральная симметрия = поворот на 180° вокруг центра.
Поворот в координатах
Для поворота вокруг начала координат против часовой стрелки на α используйте x′ = x cosα − y sinα, y′ = x sinα + y cosα. Положительное направление задаётся обычной ориентацией координатной плоскости; для поворота по часовой стрелке подставляют отрицательный угол.
Вокруг C = (a;b) сначала перенесите точку к началу: u = x − a, v = y − b. Поверните (u;v), затем верните смещение: x′ = a + u cosα − v sinα, y′ = b + u sinα + v cosα.
Оригинальный пример: P = (5;2), C = (1; −1), α = 90°. Относительные координаты (4;3) переходят в (−3;4), после обратного переноса P′ = (−2;3). Проверка: CP² = 4² + 3² = 25 и CP′² = (−3)² + 4² = 25.
Скользящая симметрия
Это отражение относительно прямой и перенос на вектор, параллельный этой прямой. Например, отражение относительно Ox и перенос на (3;0) вместе дают (x;y) → (x + 3; −y). Точка (2;4) переходит в (5; −4). Расстояния сохраняются, но неподвижных точек нет: равенство x + 3 = x невозможно.
Ось Ox переходит сама в себя как множество, хотя её отдельные точки смещаются. При нулевом векторе переноса преобразование становится обычной осевой симметрией. Для ненулевого переноса два последовательных применения дают перенос на удвоенный вектор: (x;y) → (x + 6;y). Отражение и перенос можно менять местами именно потому, что перенос направлен вдоль оси.
В программе стандартные sin и cos обычно принимают радианы: перед вычислением угол в градусах переводят умножением на π/180. После вычислений с плавающей точкой длины могут отличаться на маленькую погрешность округления; это не изменение геометрического свойства движения.
Справочные материалы: Что такое движение — исходная тема; Что такое движение — исходная тема. Связанные уроки: Метод координат, Векторы в пространстве.
Кратко о главном
- Движение сохраняет расстояния, углы и площади; фигура переходит в равную.
- Четыре вида: осевая симметрия, центральная симметрия, перенос, поворот.
- Осевая симметрия — как зеркало; центральная — поворот на 180°.
- Параллельный перенос задаётся вектором и сдвигает все точки одинаково.