Аксиома параллельных прямых и следствия из неё
📏 Геометрия · 7 класс
Аксиома параллельных прямых: через точку, не лежащую на прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной. Два следствия с доказательством, чертежи и задачи для 7 класса.
Что такое аксиома
Аксиома — это утверждение, которое принимается без доказательства и служит основой для построения всей теории. В геометрии на аксиомах строятся доказательства теорем: одни утверждения выводятся из других, но в самом начале должны быть приняты исходные положения, не требующие обоснования.
Среди аксиом особое место занимает аксиома параллельных прямых. Без неё нельзя было бы доказать многие свойства треугольников и четырёхугольников, в том числе теорему о сумме углов треугольника. Эта аксиома изучалась математиками веками и оказалась одной из самых важных в геометрии.
Формулировка аксиомы
Аксиома параллельных прямых. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
Существование такой прямой обеспечивают признаки параллельности — их можно доказать. Единственность параллельной принимается как исходное положение в этом изложении евклидовой геометрии: из остальных соответствующих исходных положений она не выводится.
Следствия из аксиомы
- Следствие первое. Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и вторую.
- Следствие второе. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой.
Эти следствия широко применяют при доказательствах и построениях. Например, второе следствие позволяет переносить параллельность с одной прямой на другую.
Свойства параллельных прямых
Аксиома позволяет доказать свойства, обратные признакам параллельности. Если признаки выводят параллельность из равенства углов, то свойства — наоборот, выводят равенство углов из известной параллельности.
| Пара углов | Свойство при параллельности |
|---|---|
| Накрест лежащие | равны |
| Соответственные | равны |
| Односторонние | сумма 180° |
Разбор примера
Даны параллельные прямые и секущая. Один из накрест лежащих углов равен 50°. Найдём остальные углы.
- Второй накрест лежащий угол равен
50° по свойству параллельных прямых. - Соответственный угол тоже равен
50°. - Односторонний угол равен
180 − 50 = 130°.
Так с помощью свойств параллельных прямых по одному известному углу находят все восемь углов при секущей.
Частые ошибки. Различайте признак и свойство: признак доказывает параллельность по углам, а свойство — наоборот, выводит равенство углов из уже известной параллельности. Нельзя применять свойства к прямым, про которые ещё не доказано, что они параллельны.
Аксиома, определение и теорема: как различить роль фразы
| Тип | Зачем нужен | Пример |
|---|---|---|
| Определение | Вводит понятие и его признаки | Биссектриса делит угол на два равных угла |
| Аксиома | Задаёт исходное положение выбранной теории | Через две различные точки проходит единственная прямая |
| Теорема | Доказывает утверждение на принятой основе | Вертикальные углы равны |
Статус зависит от системы изложения. Аксиома не обязана быть «очевидной для любого человека», а меньшее число аксиом само по себе не гарантирует надёжности. Внутри выбранной теории аксиому используют как исходную; в другой системе то же утверждение может выводиться из других исходных положений.
Пять постулатов Евклида
В историческом изложении они описывают возможность провести прямую между точками, продолжить конечную прямую, построить окружность с данным центром и радиусом, равенство всех прямых углов и условие пересечения двух прямых при секущей. Последний постулат принято связывать с параллельностью; в привычном школьном изложении евклидовой плоскости используют эквивалентную формулировку о единственной параллельной через внешнюю точку. Это историческое различие формулировок, а не пять новых правил для заучивания вместо школьного учебника.
Как проверить рассуждение
В утверждении «если два угла вертикальные, то они равны» условие — вертикальность, заключение — равенство. Обратное утверждение «если углы равны, то они вертикальные» неверно: два равных угла могут находиться в разных местах. Перестановка условия и заключения требует отдельной проверки.
Упражнение. 1) «Треугольник — многоугольник с тремя сторонами». 2) «Сумма углов треугольника на евклидовой плоскости равна 180°». 3) «Через две различные точки проходит единственная прямая». Ответы: определение, теорема, аксиома в принятом школьном изложении. Измерение углов у десяти треугольников иллюстрирует вторую фразу, но не доказывает её для всех треугольников.
Справочные материалы: Что такое аксиома — исходная тема. Связанные уроки: Аксиомы геометрии, Стереометрия и её основные фигуры.
Кратко о главном
- Аксиома принимается без доказательства.
- Через точку вне прямой проходит ровно одна параллельная ей прямая.
- Две прямые, параллельные третьей, параллельны друг другу.
- У параллельных прямых накрест лежащие и соответственные углы равны.
- Сумма односторонних углов при параллельных прямых равна
180°.