Теоремы синусов и косинусов

Зачем нужны эти теоремы

Теорема Пифагора работает только в прямоугольном треугольнике. Чтобы решать произвольные треугольники — находить неизвестные стороны и углы по известным данным — используют теорему синусов и теорему косинусов. Они верны для любого треугольника. «Решить треугольник» означает найти все его стороны и все углы, зная лишь часть из них. Эти две теоремы применяют в геодезии, навигации и строительстве, где напрямую измерить расстояние бывает невозможно, зато можно измерить углы.

Теорема синусов

В любом треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов: a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R, где R — радиус описанной окружности. Эта теорема удобна, когда известны две стороны и угол напротив одной из них, или сторона и два угла.

Теорема косинусов

Квадрат стороны равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними: c² = a² + b² − 2ab·cos C. Это обобщение теоремы Пифагора: если угол C = 90°, то cos 90° = 0 и формула превращается в c² = a² + b².

Из теоремы косинусов можно выразить и сам угол, если известны все три стороны: cos C = (a² + b² − c²) / (2ab). Это позволяет определить, острый угол или тупой: если получившийся косинус положителен — угол острый, если отрицателен — тупой, если равен нулю — прямой. Так одна формула сразу даёт и величину угла, и его «характер».

Теорема	Когда применять
Синусов	Известны: сторона и два угла; или две стороны и угол напротив одной
Косинусов (для стороны)	Известны: две стороны и угол между ними
Косинусов (для угла)	Известны все три стороны

Пример

В треугольнике стороны a = 7, b = 8, угол между ними C = 60°. Найдём сторону c по теореме косинусов: c² = a² + b² − 2ab·cos C c² = 49 + 64 − 2·7·8·cos60° cos60° = 0,5, значит 2·7·8·0,5 = 56 c² = 113 − 56 = 57 c = √57 ≈ 7,55. Теперь найдём угол A по теореме синусов: a/sin A = c/sin C sin A = a·sin C / c = 7·(√3/2)/7,55 ≈ 0,803 A ≈ 53,4°.

Частые ошибки. 1) В теореме косинусов берут косинус не того угла — он должен быть между двумя сторонами из формулы. 2) Забывают, что для тупого угла косинус отрицателен, и тогда вычитается отрицательное число (то есть прибавляется). 3) При теореме синусов угол может иметь два значения — острое и тупое; нужно проверять, какое подходит.

Дополнительные теоремы: узнаём конфигурацию

Название теоремы помогает только после проверки её условий. Для пропорций на двух сторонах угла ищите параллельные прямые и теорему Фалеса; для трёх чевиан, проходящих через одну точку, — теорему Чевы; для середин сторон четырёхугольника — теорему Вариньона. Не пытайтесь подогнать любой рисунок под знакомое название.

Теорема Чевы: перемножаем отношения

Пусть D,E,F лежат внутри BC,CA,AB невырожденного треугольника. Прямые AD,BE,CF пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда (BD/DC)·(CE/EA)·(AF/FB) = 1. Это произведение трёх отношений; каждое из них по отдельности не обязано равняться 1.

Оригинальная задача: BD/DC = 2, CE/EA = 3/4. Какое отношение AF/FB обеспечивает пересечение? Из 2·(3/4)·x = 1 получаем x = 2/3. Проверка: 2·3/4·2/3 = 1. Медианы дают частный случай, когда все отношения равны 1.

Теорема Вариньона: достаточно средних линий

В выпуклом четырёхугольнике ABCD отметим середины M,N,P,Q сторон AB,BC,CD,DA. В треугольнике ABC средняя линия MN параллельна AC и равна AC/2. В ADC линия QP обладает теми же свойствами. Поэтому MN и QP равны и параллельны, а MNPQ — параллелограмм. Так редкая на слух теорема выводится из знакомой средней линии.

Если AC = 12 см, BD = 8 см, стороны этого параллелограмма равны 6 и 4 см, периметр 20 см. Его площадь без угла между диагоналями исходного четырёхугольника по этим двум длинам определить нельзя.

Другие узнаваемые схемы

Прямая, пересекающая стороны треугольника или их продолжения, ведёт к теореме Менелая: здесь важно учитывать, какие точки внешние. Конфигурация из пересекающихся хорд через середину заданной хорды может вести к теореме о бабочке. Продолжение внутренней биссектрисы до описанной окружности связывает центр вписанной окружности с леммой о трезубце. Это подсказки для выбора отдельного разбора, а не разрешение применять теорему по внешнему сходству рисунка.

Справочные материалы: Зачем нужны эти теоремы — исходная тема. Связанные уроки: Суть теоремы Фалеса, Площадь треугольника.

Кратко о главном

• Обе теоремы работают для любого треугольника, не только прямоугольного.
• Теорема синусов: a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R.
• Теорема косинусов: c² = a² + b² − 2ab·cos C.
• Косинусов — для «двух сторон и угла» или трёх сторон; синусов — для углов и сторон.
• По знаку cos C видно: угол острый, прямой или тупой.