Призма и её свойства
📏 Геометрия · 10 класс
Прямая и наклонная призма, элементы призмы, формулы площади боковой и полной поверхности.
Что такое призма
Призмой называют многогранник, две грани которого — равные многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях, а остальные грани — параллелограммы. Равные многоугольники называют основаниями призмы, а параллелограммы — боковыми гранями.
Стороны боковых граней, соединяющие соответствующие вершины оснований, называют боковыми рёбрами. Все боковые рёбра призмы равны и параллельны.
Виды призм
- Прямая призма — боковые рёбра перпендикулярны основаниям. Её боковые грани — прямоугольники.
- Наклонная призма — боковые рёбра не перпендикулярны основаниям.
- Правильная призма — прямая призма, в основании которой лежит правильный многоугольник.
Призму называют по числу сторон основания: треугольная, четырёхугольная, шестиугольная и так далее. Частный случай четырёхугольной призмы — параллелепипед, у которого все грани параллелограммы.
Элементы призмы
| Элемент | Описание |
|---|---|
| Основания | два равных параллельных многоугольника |
| Боковые грани | параллелограммы |
| Боковое ребро | отрезок между основаниями |
| Высота | расстояние между плоскостями оснований |
| Диагональ | отрезок между вершинами разных оснований |
Площадь поверхности
Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту:
S_бок = P_осн · h
Полная поверхность складывается из боковой и двух оснований:
S_полн = S_бок + 2·S_осн
Для наклонной призмы площадь боковой поверхности находят иначе — как произведение периметра перпендикулярного сечения на длину бокового ребра. Перпендикулярным сечением называют сечение призмы плоскостью, перпендикулярной боковым рёбрам.
Диагонали и диагональные сечения
В призме различают диагонали граней и диагонали самого многогранника. Диагональю призмы называют отрезок, соединяющий две вершины, не лежащие в одной грани. Плоскость, проходящая через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани, задаёт диагональное сечение. У прямой призмы диагональное сечение — прямоугольник. Эти понятия часто встречаются в задачах на вычисление длин и площадей, поэтому их полезно отличать друг от друга.
Разобранный пример
В основании прямой призмы лежит квадрат со стороной 4, высота призмы h = 5. Найдём боковую поверхность.
P_осн = 4·4 = 16, S_бок = 16·5 = 80
Частые ошибки. Формула S_бок = P·h верна только для прямой призмы. Для наклонной боковую поверхность находят через периметр перпендикулярного сечения. Высоту наклонной призмы нельзя путать с длиной бокового ребра.Кратко о главном
- Призма — многогранник с двумя равными параллельными основаниями.
- Боковые рёбра призмы равны и параллельны.
- У прямой призмы боковые грани — прямоугольники.
- Площадь боковой поверхности прямой призмы:
S_бок = P_осн · h.