Расстояние между скрещивающимися прямыми
📏 Геометрия · 10 класс
Длина общего перпендикуляра как кратчайшее расстояние между скрещивающимися прямыми.
Расстояние между скрещивающимися прямыми
Расстоянием между скрещивающимися прямыми называют длину их общего перпендикуляра — отрезка, который пересекает обе прямые и перпендикулярен каждой из них. Это кратчайшее из всех расстояний между точками двух скрещивающихся прямых. Понятие важно при вычислении расстояний в многогранниках и при решении координатных задач.
Общий перпендикуляр
Для двух скрещивающихся прямых a и b существует единственный общий перпендикуляр. Он перпендикулярен обеим прямым и соединяет их «по кратчайшему пути». Концы этого отрезка лежат: один на прямой a, другой на прямой b. Любой другой отрезок, соединяющий точки этих прямых, будет длиннее общего перпендикуляра.
Способ через параллельную плоскость
Удобный приём: построить плоскость, проходящую через одну прямую и параллельную второй. Тогда расстояние между прямыми равно расстоянию от любой точки второй прямой до этой плоскости. Этот способ часто проще, чем искать сам общий перпендикуляр, особенно в задачах с кубом и параллелепипедом.
Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию между двумя параллельными плоскостями, в каждой из которых лежит одна из прямых.
| Способ | Что находим |
|---|---|
| Общий перпендикуляр | Длину отрезка, перпендикулярного обеим прямым |
| Через параллельную плоскость | Расстояние от точки прямой до плоскости |
| Через параллельные плоскости | Расстояние между двумя плоскостями |
Разбор примера
В кубе ABCDA_1B_1C_1D_1 с ребром a найдём расстояние между скрещивающимися рёбрами AA_1 и BC:
AA_1 ⊥ ABCD, значит AA_1 ⊥ AB.
BC ⊥ AB (стороны квадрата ABCD).
Отрезок AB перпендикулярен и AA_1, и BC,
и соединяет точку A на AA_1 с точкой B на BC.
Значит, AB — общий перпендикуляр, и расстояние равно a.Здесь нам повезло: общим перпендикуляром оказалось готовое ребро куба. В более сложных случаях общий перпендикуляр приходится строить отдельно или применять способ с параллельной плоскостью.
Координатный способ
Если многогранник задан координатами вершин, расстояние между скрещивающимися прямыми удобно искать координатно. Берут по точке на каждой прямой и направляющие векторы прямых, затем используют формулу через смешанное произведение. Этот способ не требует геометрических построений и особенно полезен в задачах второй части экзамена, где геометрическое построение общего перпендикуляра затруднено. Тем не менее на первом этапе важно понимать именно геометрический смысл: расстояние — это длина общего перпендикуляра, и никакой другой отрезок между прямыми не может быть короче.
Частые ошибки. Расстояние между скрещивающимися прямыми — это не расстояние между произвольными точками, а именно длина общего перпендикуляра. Нельзя путать его с расстоянием между ближайшими вершинами на рисунке без обоснования перпендикулярности отрезка обеим прямым.
Кратко о главном
- Расстояние между скрещивающимися прямыми — длина их общего перпендикуляра.
- Общий перпендикуляр для двух скрещивающихся прямых единственный.
- Удобный приём — построить плоскость через одну прямую, параллельную второй.
- Это кратчайшее расстояние между точками двух прямых.