Перпендикулярность прямой и плоскости
📏 Геометрия · 10 класс
Признак перпендикулярности прямой и плоскости и его применение в задачах.
Перпендикулярность прямой и плоскости
Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Это одно из важнейших отношений стереометрии: на нём строятся понятия высоты многогранника, расстояния от точки до плоскости и многие вычисления, связанные с объёмами и поверхностями.
Определение и обозначение
Если прямая a перпендикулярна плоскости α, пишут a ⊥ α. По определению это значит, что a образует прямой угол с каждой прямой плоскости α, в том числе и с теми, которые не пересекают a. На практике проверять «каждую» прямую невозможно, поэтому используют признак, в котором достаточно всего двух прямых.
Признак перпендикулярности прямой и плоскости
Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна и самой плоскости.
Достаточно всего двух прямых, но они обязаны пересекаться. Если две прямые параллельны, признак не работает: перпендикулярность двум параллельным прямым ещё не гарантирует перпендикулярности плоскости.
| Условие | Достаточно? |
|---|---|
| Перпендикулярна одной прямой плоскости | Нет |
| Перпендикулярна двум параллельным прямым | Нет |
| Перпендикулярна двум пересекающимся прямым | Да |
Свойства перпендикулярности
- Через точку пространства можно провести ровно одну прямую, перпендикулярную данной плоскости.
- Если две прямые перпендикулярны одной плоскости, то они параллельны между собой.
- Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и второй.
- Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных плоскостей, то она перпендикулярна и второй.
Разбор примера
В кубе ABCDA_1B_1C_1D_1 докажем, что ребро AA_1 перпендикулярно плоскости основания ABCD:
Ребро AA_1 ⊥ AB (грань ABB_1A_1 — квадрат).
Ребро AA_1 ⊥ AD (грань ADD_1A_1 — квадрат).
Прямые AB и AD пересекаются в точке A и лежат в ABCD.
По признаку: AA_1 ⊥ ABCD.Из второго свойства сразу следует, что и остальные боковые рёбра BB_1, CC_1, DD_1 перпендикулярны основанию, ведь они параллельны AA_1. Это означает, что куб является прямой призмой, у которой боковые рёбра перпендикулярны плоскости основания.
Связь с расстоянием от точки до плоскости
Перпендикулярность прямой и плоскости лежит в основе понятия расстояния от точки до плоскости. Чтобы найти такое расстояние, из данной точки опускают перпендикуляр на плоскость; его длина и есть искомое расстояние. Любой другой отрезок от точки до плоскости (наклонная) будет длиннее. Поэтому умение строить и распознавать перпендикуляр к плоскости — практический навык, без которого не решаются задачи на расстояния и высоты.
Частые ошибки. Нельзя делать вывод о перпендикулярности прямой и плоскости, проверив угол лишь с одной прямой. И обязательно убедитесь, что выбранные прямые пересекаются, а не параллельны.
Кратко о главном
- Прямая перпендикулярна плоскости, если перпендикулярна любой прямой в ней.
- Признак: перпендикулярность двум пересекающимся прямым плоскости.
- Через точку проходит единственный перпендикуляр к плоскости.
- Прямые, перпендикулярные одной плоскости, параллельны.