Совпадение медианы, высоты и биссектрисы

Совпадение медианы, высоты и биссектрисы

В произвольном треугольнике медиана, высота и биссектриса, проведённые из одной вершины, — это три разные линии, которые расходятся в разные стороны. Но в равнобедренном треугольнике есть замечательное свойство: эти три линии, проведённые к основанию, совпадают и образуют один и тот же отрезок.

Напоминание определений

Формулировка свойства

В равнобедренном треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведённые из вершины к основанию, совпадают между собой. Это значит, что один и тот же отрезок одновременно выполняет сразу три роли:

• делит основание пополам, то есть является медианой;
• делит угол при вершине пополам, то есть является биссектрисой;
• перпендикулярен основанию, то есть является высотой.

Почему так получается

Треугольник ABC, AB = BC (равнобедренный).
BM — биссектриса угла B.
Рассмотрим треугольники ABM и CBM:
  AB = CB             (по условию)
  угол ABM = угол CBM (BM — биссектриса)
  BM — общая сторона
⇒ треугольники равны (первый признак).
Значит AM = MC, то есть BM — медиана,
и угол AMB = угол CMB = 90°, то есть BM — высота.

Правило. Совпадение трёх линий работает только для линий, проведённых к основанию равнобедренного треугольника. Для линий, проведённых к боковым сторонам, это свойство неверно — там медиана, высота и биссектриса различны.

Как используют это свойство

Свойство заметно экономит время при решении задач. Достаточно провести всего одну линию к основанию — и она сразу даёт три факта: середину основания, прямой угол с основанием и равенство углов при вершине. Это часто помогает доказывать равенство отрезков и углов, а также находить неизвестные величины.

Обратное утверждение

Верно и обратное: если в треугольнике медиана, проведённая к одной из сторон, оказалась ещё и высотой к этой стороне, то треугольник равнобедренный. Это уже признак равнобедренного треугольника, обратный к рассмотренному свойству. Точно так же признаком служит совпадение биссектрисы и высоты или биссектрисы и медианы.

Связь с осью симметрии

Отрезок, в который сливаются эти три линии, является осью симметрии равнобедренного треугольника. Если перегнуть треугольник по этому отрезку, две его половины точно совместятся. Это наглядно объясняет, почему углы при основании равны.

Кратко о главном

• В равнобедренном треугольнике медиана, биссектриса и высота к основанию совпадают.
• Этот отрезок делит основание пополам.
• Он делит угол при вершине пополам.
• Он перпендикулярен основанию.
• Свойство доказывается через равенство треугольников.
• Оно верно только для линий, проведённых к основанию.