Равнобедренный треугольник: стороны и свойства
📏 Геометрия · 7 класс
Равнобедренный треугольник — треугольник с двумя равными сторонами; они называются боковыми, третья — основанием. Углы при основании равны; свойства, признаки и задачи для 7 класса.
Равнобедренный треугольник
Равнобедренным называют треугольник, у которого две стороны равны. Эти равные стороны называют боковыми, а третью сторону — основанием. Углы, прилежащие к основанию, называют углами при основании, а угол между боковыми сторонами — углом при вершине. Если же равны все три стороны, треугольник называют равносторонним; это частный случай равнобедренного, у которого, кроме того, все углы равны по 60°.
Равнобедренный треугольник симметричен относительно прямой, проходящей через вершину и середину основания, — именно из этой симметрии и вытекают все его свойства. Если перегнуть бумажный равнобедренный треугольник по этой линии, половинки точно совместятся: это наглядно показывает, почему углы при основании и боковые стороны равны.
Свойства равнобедренного треугольника
Главное свойство связывает стороны и углы: в равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Второе важное свойство: биссектриса, проведённая из вершины к основанию, одновременно является медианой и высотой. Это очень удобно при решении задач, потому что одна линия сразу обладает тремя свойствами.
| Линия из вершины | Что она делает | В равнобедренном треугольнике |
|---|---|---|
| Биссектриса | Делит угол при вершине пополам | Совпадает с медианой и высотой |
| Медиана | Делит основание пополам | Совпадает с биссектрисой и высотой |
| Высота | Перпендикулярна основанию | Совпадает с медианой и биссектрисой |
Признаки
Признак позволяет доказать, что треугольник равнобедренный. Он звучит так: если в треугольнике два угла равны, то этот треугольник равнобедренный, причём стороны, лежащие против равных углов, тоже равны. Это утверждение, обратное к основному свойству. Признак удобен, когда о сторонах ничего не известно, но видно равенство углов: тогда сразу можно утверждать, что перед нами равнобедренный треугольник.
Доказательство основного свойства
Дано: треугольник ABC, в котором AB = AC (боковые стороны).
Шаг 1. Проведём биссектрису AD из вершины A к основанию BC.
Шаг 2. В треугольниках ABD и ACD: AB = AC по условию.
Шаг 3. Сторона AD общая, углы BAD = CAD по построению биссектрисы.
Шаг 4. По первому признаку (СУС) треугольники ABD и ACD равны.
Шаг 5. Значит угол B = угол C — углы при основании равны.Частые ошибки. Равны именно углы при основании, а не любые два угла. Свойство «биссектриса = медиана = высота» работает только для линии, проведённой из вершины к основанию, а не из углов при основании. Не путайте признак (от равных углов к равным сторонам) и свойство (от равных сторон к равным углам).
Кратко о главном
- Равнобедренный треугольник имеет две равные боковые стороны и основание.
- Углы при основании равны — это основное свойство.
- Биссектриса к основанию совпадает с медианой и высотой.
- Признак: если в треугольнике два угла равны, он равнобедренный.
- Равносторонний треугольник — частный случай с тремя равными сторонами.