Свойства равнобедренной трапеции
📏 Геометрия · 8 класс
Равнобедренная трапеция — трапеция с равными боковыми сторонами; углы при каждом основании равны, диагонали равны. Свойства с доказательством, признаки, формулы и задачи 8 класса.
Свойства равнобедренной трапеции
Трапеция — это четырёхугольник, у которого две стороны параллельны (основания), а две другие — нет (боковые стороны). Если боковые стороны равны, трапецию называют равнобедренной (или равнобокой). У такой трапеции есть несколько важных и красивых свойств.
Основные свойства
- Боковые стороны равны по определению.
- Углы при каждом основании равны между собой.
- Диагонали равны по длине.
- Сумма противоположных углов равна 180 градусам, поэтому около равнобедренной трапеции можно описать окружность.
В равнобедренной трапеции углы при большем основании равны, и углы при меньшем основании тоже равны. При этом сумма угла при большем и угла при меньшем основании равна 180 градусам.
Сводка свойств
| Элемент | Свойство |
|---|---|
| Боковые стороны | равны |
| Углы при основании | попарно равны |
| Диагонали | равны |
| Описанная окружность | существует всегда |
Высота и проекции
Если опустить из вершин меньшего основания две высоты на большее основание, фигура разобьётся на прямоугольник и два равных прямоугольных треугольника. Проекция боковой стороны на большее основание равна:
x = (a − b) / 2, где a — большее, b — меньшее основание.
Разобранный пример
В равнобедренной трапеции основания равны 10 и 4 см, боковая сторона — 5 см. Найдём высоту. Проекция боковой стороны:
x = (10 − 4) / 2 = 3 см
Высота по теореме Пифагора: h = √(5² − 3²) = √(25 − 9) = √16 = 4 см.
Частая ошибка. Равенство диагоналей — признак именно равнобедренной трапеции. Не приписывайте это свойство любой трапеции.
Признаки равнобедренной трапеции
Трапеция является равнобедренной, если выполнено хотя бы одно из условий: углы при основании равны, или диагонали равны. Каждого из этих признаков достаточно, чтобы утверждать равенство боковых сторон. Это удобно при решении задач: иногда легче доказать равенство углов, чем сразу искать боковые стороны.
Второй пример
В равнобедренной трапеции основания равны 14 и 8 см, высота — 4 см. Найдём боковую сторону. Проекция боковой стороны на большее основание:
x = (14 − 8) / 2 = 3 см
Боковая сторона как гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 4 и 3:
c = √(4² + 3²) = √(16 + 9) = √25 = 5 см
Ось симметрии
Равнобедренная трапеция обладает осью симметрии. Эта ось проходит через середины обоих оснований перпендикулярно им. При отражении относительно этой оси трапеция переходит сама в себя: боковые стороны меняются местами, как и углы при основании. Именно наличие оси симметрии объясняет, почему боковые стороны, углы при основании и диагонали попарно равны. Это удобный взгляд на фигуру: многие свойства следуют сразу из симметрии.
Где применяют
- В вычислении площади и периметра трапеции.
- В задачах на вписанную и описанную окружности.
- В построениях, где требуется симметричная фигура.
- В нахождении высоты и боковой стороны через прямоугольный треугольник.
Кратко о главном
- У равнобедренной трапеции равны боковые стороны.
- Углы при каждом основании равны.
- Диагонали равны по длине.
- Около неё всегда можно описать окружность.
- Равенство углов или диагоналей — признак равнобедренной трапеции.