Шар и сфера: площадь поверхности и объём
📏 Геометрия · 11 класс
Сфера как поверхность, шар как тело, формулы площади сферы и объёма шара, сечения и касательная плоскость.
Шар и сфера
Сфера — это поверхность, состоящая из всех точек пространства, удалённых от данной точки (центра) на одно и то же расстояние — радиус R. Шар — тело, ограниченное сферой, то есть множество всех точек, расстояние от которых до центра не больше R. Таким образом, сфера — это граница (поверхность), а шар — заполненное тело. Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через центр, называется диаметром и равен 2R.
Шар — единственное из тел вращения, которое получается вращением полукруга вокруг его диаметра. Все осевые сечения шара одинаковы — это большие круги.
Площадь сферы:S = 4πR². Объём шара:V = (4/3)πR³.
Сечения шара
Плоскость, проходящая через внутренность шара, пересекает его по кругу; касательная имеет с ним одну общую точку. Если плоскость проходит через центр, получается большой круг радиуса R — это сечение наибольшей площади. Если плоскость удалена от центра на расстояние d (где 0 ≤ d < R), то радиус сечения находится по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника с гипотенузой R и катетом d : r = √(R² − d²) . При d = R плоскость касается сферы, и сечение вырождается в точку.
Касательная плоскость
Касательная плоскость имеет со сферой ровно одну общую точку — точку касания. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной плоскости. Это свойство — основной инструмент в задачах на вписанные и описанные тела: например, сфера, вписанная в куб, касается каждой грани в её центре, а радиус сферы равен половине ребра.
| Объект | Что это | Формула |
|---|---|---|
| Сфера | поверхность | S = 4πR² |
| Шар | тело | V = (4/3)πR³ |
| Сечение шара | круг радиуса r | r = √(R² − d²) |
Разобранный пример
Радиус шара R = 3. Найдём площадь сферы и объём шара.
S = 4πR² = 4π·9 = 36π
V = (4/3)πR³ = (4/3)π·27 = 36π
Сечение на расстоянии d = 2 от центра: r = √(9 − 4) = √5, его площадь равна 5π.
Вписанные и описанные шары
Тема шара тесно связана с многогранниками. Вписанный шар касается всех граней тела изнутри, а описанный шар проходит через все его вершины. Например, радиус шара, описанного около куба с ребром a, равен половине диагонали куба: R = (a·√3)/2. Радиус шара, вписанного в тот же куб, равен половине ребра: r = a/2. Чтобы найти такие радиусы, обычно рассматривают подходящее осевое сечение, превращая объёмную задачу в планиметрическую.
Сравнение объёмов разных тел — ещё один типичный сюжет. Так, объём шара составляет ровно две трети объёма описанного около него цилиндра с той же высотой и радиусом — этот результат известен ещё со времён Архимеда и часто используется как контроль правильности вычислений.
Частые ошибки. Путают формулы площади и объёма; забывают возводить радиус в куб в объёме; называют шаром поверхность, а сферой тело; теряют квадрат в формуле радиуса сечения; подставляют диаметр вместо радиуса.
Сравниваем поверхность и заполненное тело
Для центра O и радиуса R > 0 сфера задаётся условием OM = R, шар — условием OM ≤ R. Точки внутри шара удовлетворяют OM < R и не принадлежат сфере. Сама сфера включена в шар как его граница.
| Вопрос | Сфера | Шар |
|---|---|---|
| Принадлежит ли центр? | Нет при R > 0 | Да |
| Вращение вокруг диаметра | Полуокружность даёт сферу | Полукруг даёт шар |
| Пересечение секущей плоскостью на расстоянии d < R | Окружность | Круг с границей |
| Основная мера | Площадь 4πR² | Объём 4πR³/3 |
| Касательная плоскость, d = R | Одна точка | Та же точка |
Три положения плоскости
Если расстояние от центра d < R, радиус сечения r = √(R² − d²). При d = R получается точка касания, при d > R общих точек нет. Поэтому фраза «любое сечение — круг» относится к секущей плоскости, действительно проходящей через внутренность шара, а не к любой плоскости пространства.
Оригинальный пример
R = 5 см, d = 3 см. Радиус сечения r = √(25 − 9) = 4 см. Пересечение сферы имеет длину 2πr = 8π см, пересечение шара — площадь πr² = 16π см². Площадь всей сферы 100π см², объём шара 500π/3 см³. Подписи единиц помогают заметить, когда вместо окружности посчитали круг или вместо поверхности — объём.
Проверка: точка на расстоянии 2 см от центра шара радиуса 5 см принадлежит шару, но не сфере. Точка на расстоянии ровно 5 см принадлежит обоим. Точка на расстоянии 6 см не принадлежит ни одному.
Модель тонкой оболочки мяча ближе к поверхности, а заполненного объёма — к шару, но реальный предмет имеет толщину. Не превращайте бытовой пример в точное геометрическое определение.
Справочные материалы: Шар и сфера — исходная тема. Связанные уроки: Что такое многогранник, Параллелепипед.
Кратко о главном
- Сфера — поверхность, шар — тело внутри неё.
- Площадь сферы:
S = 4πR². - Объём шара:
V = (4/3)πR³. - При 0 ≤ d < R сечение шара — круг радиуса r = √(R² − d²); при d = R — точка, при d > R общих точек нет.
- Радиус в точку касания перпендикулярен касательной плоскости.