Вписанная и описанная окружности многоугольника
📏 Геометрия · 9 класс
Радиусы окружностей, вписанных в правильный многоугольник и описанных около него.
Две окружности правильного многоугольника
Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и в любой правильный многоугольник можно вписать окружность. Описанная окружность проходит через все вершины многоугольника, а вписанная окружность касается всех его сторон. Замечательное свойство правильных многоугольников в том, что центры обеих окружностей совпадают — это общий центр многоугольника.
Из этого факта следует удобный приём: правильный многоугольник можно разбить на одинаковые равнобедренные треугольники, у которых вершина — центр, а основание — сторона. Через такой треугольник и выражаются все основные величины.
Радиусы и сторона
Пусть у правильного n-угольника сторона равна a. Тогда радиус описанной окружности R и радиус вписанной окружности r (его называют апофемой) связаны со стороной формулами:
a = 2R * sin(180° / n)r = R * cos(180° / n)
Здесь r — это расстояние от центра до середины любой стороны, то есть высота того самого равнобедренного треугольника, опущенная из центра на сторону. Угол 180° / n — это половина центрального угла, под которым видна сторона.
Связь с площадью и периметром
Апофема позволяет компактно записать площадь правильного многоугольника. Так как многоугольник состоит из n одинаковых треугольников высотой r, его площадь равна:
Площадь правильного многоугольника: S = 0,5 * P * r, где P — периметр, а r — апофема (радиус вписанной окружности).Разобранный пример
Найдём оба радиуса для правильного шестиугольника со стороной a = 4.
Для шестиугольника180° / 6 = 30°. ТогдаR = a / (2 sin 30°) = 4 / (2 * 0,5) = 4.r = R cos 30° = 4 * (√3 / 2) = 2√3 ≈ 3,46.
Получился важный частный результат: у правильного шестиугольника радиус описанной окружности равен стороне. Это связано с тем, что шестиугольник разбивается на шесть равносторонних треугольников.
| Многоугольник | R через a | r через a |
|---|---|---|
| треугольник (n = 3) | a / √3 | a / (2√3) |
| квадрат (n = 4) | a√2 / 2 | a / 2 |
| шестиугольник (n = 6) | a | a√3 / 2 |
Зная сторону и число углов, по этим формулам можно восстановить и радиусы, и площадь, и периметр любого правильного многоугольника. Поэтому тема тесно связана с вычислением длины окружности и площади круга.
Частые ошибки. Не путайте описанную окружность (проходит через вершины) и вписанную (касается сторон). Радиус вписанной всегда меньше радиуса описанной. Полезно помнить, что у шестиугольника радиус описанной окружности равен его стороне.
Кратко о главном
- В правильный многоугольник вписана окружность, а около него описана окружность.
- Центры обеих окружностей совпадают с центром многоугольника.
- Радиус вписанной окружности называется апофемой.
- Сторона, радиусы, периметр и площадь связаны формулами через угол
180° / n.