Двугранный угол
📏 Геометрия · 10 класс
Понятие двугранного угла, его линейный угол и способы измерения в пространстве.
Двугранный угол
Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей прямой границей. Полуплоскости называют гранями, а их общую прямую — ребром двугранного угла. Двугранные углы встречаются всюду, где две плоскости пересекаются: в гранях многогранников, в крышах зданий, в раскрытой книге. Умение измерять двугранный угол необходимо для задач о наклоне граней пирамид и призм.
Линейный угол двугранного угла
Сам двугранный угол — пространственная фигура, и измерять его непосредственно нельзя. Поэтому вводят его линейный угол. Для этого на ребре выбирают произвольную точку и в каждой грани проводят из неё луч, перпендикулярный ребру. Угол между этими двумя лучами и называется линейным углом двугранного угла.
O ∈ ребру; OA ⊥ ребру, OA ⊂ грань 1; OB ⊥ ребру, OB ⊂ грань 2 ⇒ ∠AOB — линейный угол
Важнейшее свойство: все линейные углы одного двугранного угла равны между собой, какую бы точку на ребре мы ни выбрали. Это объясняется тем, что при сдвиге точки вдоль ребра лучи переходят в параллельные, а угол между параллельными лучами сохраняется. Поэтому величину двугранного угла измеряют величиной любого его линейного угла.
Виды двугранных углов
| Вид | Линейный угол |
|---|---|
| Острый | меньше 90° |
| Прямой | равен 90° |
| Тупой | больше 90° |
Если двугранный угол прямой, то и плоскости его граней перпендикулярны. На этом основано определение перпендикулярности плоскостей: две плоскости перпендикулярны, если образованный ими двугранный угол прямой.
Как построить линейный угол
- Выбрать на ребре удобную точку.
- В каждой грани провести из этой точки перпендикуляр к ребру.
- Измерить плоский угол между построенными перпендикулярами.
Разбор примера
В правильной пирамиде с квадратным основанием ABCD и вершиной S двугранный угол при основании измеряют так. Проводят апофему SK к середине стороны основания и отрезок OK от центра основания O к той же середине K. Оба отрезка перпендикулярны стороне основания (ребру двугранного угла), а значит, ∠SKO — линейный угол двугранного угла при ребре основания. Из прямоугольного треугольника SOK этот угол легко вычислить через высоту пирамиды и апофему основания.
Частая ошибка. Лучи линейного угла должны быть перпендикулярны ребру и лежать в гранях. Произвольные лучи из точки ребра линейный угол не задают, и измеренный по ним угол не равен двугранному.
Кратко о главном
- Двугранный угол образован двумя полуплоскостями с общим ребром.
- Его величина измеряется линейным углом.
- Лучи линейного угла перпендикулярны ребру и лежат в гранях.
- Все линейные углы одного двугранного угла равны.
- Прямой двугранный угол означает перпендикулярность плоскостей.