Параллельность двух плоскостей
📏 Геометрия · 10 класс
Признак параллельности плоскостей и свойства параллельных плоскостей в стереометрии.
Параллельные плоскости
Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек. В пространстве две различные плоскости ведут себя строго: они либо пересекаются по прямой, либо параллельны — третьего не дано. Параллельность плоскостей обозначают так: α ∥ β. Параллельные плоскости — основа понятия призмы, цилиндра и многих задач о расстояниях между плоскостями.
Взаимное расположение двух плоскостей
В отличие от прямых, у плоскостей нет случая скрещивания: любые две плоскости, имеющие хотя бы одну общую точку, пересекаются по целой прямой. Поэтому возможны только два случая.
| Случай | Общие точки | Обозначение |
|---|---|---|
| Плоскости пересекаются | Прямая общих точек | α ∩ β = c |
| Плоскости параллельны | Нет | α ∥ β |
Признак параллельности двух плоскостей
Признак. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
Запишем условие признака для плоскостей α и β:
a ∩ b = M, a ⊂ α, b ⊂ α; a ∥ a₁, b ∥ b₁, a₁ ⊂ β, b₁ ⊂ β ⇒ α ∥ β
Существенно, что прямые a и b именно пересекаются. Для двух параллельных прямых утверждение неверно: можно подобрать пересекающуюся плоскость, в которой найдутся две прямые, параллельные данным, и тем не менее плоскости пересекутся. Доказывают признак от противного: если бы плоскости пересекались по прямой c, то каждая из прямых a и b была бы параллельна c, а через точку M нельзя провести две различные прямые, параллельные одной и той же прямой c.
Свойства параллельных плоскостей
| Свойство | Формулировка |
|---|---|
| Линии пересечения | Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны. |
| Отрезки параллельных | Отрезки параллельных прямых, заключённые между параллельными плоскостями, равны. |
Первое свойство объясняет, почему противоположные грани сечения призмы оказываются параллельными отрезками. Второе свойство означает, что расстояние между параллельными плоскостями постоянно: его измеряют по любому общему перпендикуляру.
Разбор примера
Пусть плоскости α и β параллельны, а секущая плоскость γ пересекает их по прямым m и n. Тогда m ∥ n. На этом свойстве основано построение сечений призмы: если секущая плоскость пересекает две параллельные грани, то следы сечения на этих гранях параллельны между собой. Это позволяет достраивать сечение, проводя через известные точки прямые, параллельные уже найденным следам.
Частая ошибка. Недостаточно, чтобы одна прямая первой плоскости была параллельна второй плоскости. Нужны именно две пересекающиеся прямые, параллельные второй плоскости. Если взять две параллельные между собой прямые, признак не работает.
Самостоятельная проверка: параллельные плоскости
Ниже — оригинальные задания с пояснениями. Считайте плоскости различными, а упомянутые пересечения существующими. Начните с рисунка, но обосновывайте ответ свойством: перспектива на листе может обмануть.
- Две параллельные плоскости α и β пересечены плоскостью γ. Как расположены линии пересечения γ с α и β?
- Прямая a пересекает α в единственной точке. Может ли плоскость, содержащая a, быть параллельной α?
- В α есть две пересекающиеся прямые, соответственно параллельные двум пересекающимся прямым β. Какой вывод следует при условии α ≠ β?
- Между α и β на двух параллельных прямых отложены отрезки AB и CD. AB = 7 см. Найдите CD.
- Верно ли: если одна прямая α параллельна одной прямой β, то α ∥ β?
- Две параллельные плоскости пересекают стороны угла с вершиной O. Ближний отрезок между сторонами равен 8 см, дальний — 12 см. Расстояние от O до ближней точки на одной стороне 10 см. Найдите расстояние до дальней точки на той же стороне.
Ответы с обоснованиями
1. Линии параллельны. Если бы они пересеклись, точка пересечения принадлежала бы обеим исходным параллельным плоскостям.
2. Нет. Общая точка a и α принадлежала бы и содержащей a плоскости, что противоречит отсутствию общих точек у параллельных плоскостей.
3. Плоскости параллельны по признаку. Пересечение прямых внутри каждой пары — существенная часть условия.
4. CD = 7 см: отрезки параллельных прямых между двумя параллельными плоскостями равны.
5. Нет. Такие прямые могут находиться и в пересекающихся плоскостях. Например, в двух плоскостях одной книги можно выбрать прямые, параллельные её корешку.
6. В плоскости угла следы параллельных плоскостей параллельны, поэтому треугольники подобны. Коэффициент 12/8 = 3/2; искомое расстояние 10·3/2 = 15 см. Оно отсчитывается от O, не между плоскостями; последний участок на стороне равен 15 − 10 = 5 см.
Если ошибка возникла в заданиях 2–3, повторите условие признака; если в шестом — различайте расстояние от вершины и длину промежуточного отрезка. Итог теста показывает конкретные вопросы для повторения, а не общую «способность к геометрии».
Справочные материалы: Параллельные плоскости — исходная тема. Связанные уроки: Параллелепипед, Построение сечений методом следов.
Кратко о главном
- Параллельные плоскости не имеют общих точек.
- Две плоскости либо пересекаются по прямой, либо параллельны.
- Признак опирается на две пересекающиеся прямые одной плоскости.
- Третья плоскость пересекает параллельные по параллельным прямым.
- Отрезки параллельных прямых между параллельными плоскостями равны.