Треугольники
📏 Геометрия · 7 класс
Классификация треугольников. Сумма углов треугольника = 180°.
Треугольники
Треугольник — это фигура, образованная тремя точками (вершинами), не лежащими на одной прямой, и тремя отрезками (сторонами), соединяющими эти точки. Треугольник — простейший многоугольник, и при этом самый важный: любой многоугольник можно разбить на треугольники, поэтому многие задачи геометрии в итоге сводятся к работе с ними. Сумма всех его углов всегда равна 180°, какой бы формы он ни был. Кроме того, в любом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон — это называют неравенством треугольника, и оно объясняет, почему из трёх отрезков не всегда можно сложить треугольник.
Классификация треугольников
Треугольники классифицируют двумя независимыми способами: по сторонам и по углам. Один и тот же треугольник можно описать обоими способами одновременно, например «прямоугольный равнобедренный».
| Признак | Вид | Описание |
|---|---|---|
| По сторонам | Разносторонний | Все три стороны разной длины |
| По сторонам | Равнобедренный | Две стороны равны |
| По сторонам | Равносторонний | Все три стороны равны |
| По углам | Остроугольный | Все углы острые |
| По углам | Прямоугольный | Один угол равен 90° |
| По углам | Тупоугольный | Один угол тупой |
Сумма углов треугольника
Главная теорема о треугольниках звучит так: сумма углов любого треугольника равна 180°. Из неё вытекает множество следствий. Например, в треугольнике не может быть двух прямых или двух тупых углов одновременно. У прямоугольного треугольника два острых угла в сумме дают ровно 90°. Знание двух углов всегда позволяет найти третий простым вычитанием из 180°. У равностороннего треугольника все три угла равны, поэтому каждый из них равен 180° : 3 = 60°.
Доказательство теоремы
Дано: произвольный треугольник ABC.
Шаг 1. Через вершину B проведём прямую, параллельную стороне AC.
Шаг 2. При секущей AB накрест лежащие углы равны: угол A = угол 1.
Шаг 3. При секущей BC накрест лежащие углы равны: угол C = угол 2.
Шаг 4. Углы 1, B и 2 вместе образуют развёрнутый угол, равный 180°.
Шаг 5. Значит угол A + угол B + угол C = 180°.Частые ошибки. Не существует треугольника с двумя прямыми углами — их сумма уже даёт 180°, и на третий угол не остаётся места. Внешний угол треугольника равен сумме двух не смежных с ним внутренних углов, а не одного. Сумма внутренних углов всегда ровно 180°, независимо от вида и размера треугольника.
Кратко о главном
- Треугольник — три вершины, не лежащие на одной прямой, и три стороны.
- По сторонам бывают разносторонние, равнобедренные и равносторонние.
- По углам бывают остроугольные, прямоугольные и тупоугольные.
- Сумма углов любого треугольника всегда равна 180°.
- В прямоугольном треугольнике два острых угла дают в сумме 90°.