Параллелепипед и его свойства
📏 Геометрия · 10 класс
Прямой, наклонный и прямоугольный параллелепипед: свойства граней, рёбер и диагоналей.
Параллелепипед
Параллелепипед — это призма, основанием которой служит параллелограмм. У него шесть граней, и все они являются параллелограммами. Это один из важнейших многогранников курса: к нему сводятся многие задачи на объём, расстояния и углы, а прямоугольный параллелепипед моделирует комнаты, коробки и кирпичи.
Элементы параллелепипеда
- Грани — шесть параллелограммов; противоположные грани попарно равны и параллельны.
- Рёбра — двенадцать отрезков, образующих три четвёрки параллельных и равных между собой.
- Вершины — восемь точек.
- Диагонали — четыре отрезка, соединяющих противоположные вершины параллелепипеда.
Любые две противоположные грани можно считать основаниями, тогда оставшиеся четыре грани будут боковыми. Это показывает, что у параллелепипеда нет выделенного основания — в этом его удобство.
Виды параллелепипеда
| Вид | Особенность |
|---|---|
| Наклонный | боковые рёбра не перпендикулярны основанию |
| Прямой | боковые рёбра перпендикулярны основанию |
| Прямоугольный | прямой, основание — прямоугольник |
| Куб | прямоугольный с равными рёбрами |
Свойства параллелепипеда
- Противоположные грани параллельны и равны.
- Все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам. Эта точка — центр симметрии параллелепипеда.
- Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.
Для прямоугольного параллелепипеда с измерениями a, b, c диагональ d находится по формуле, обобщающей теорему Пифагора на пространство:
d² = a² + b² + c²
Разбор примера
Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда равны a = 3, b = 4, c = 12. Тогда длина диагонали равна:
d = √(3² + 4² + 12²) = √(9 + 16 + 144) = √169 = 13
Эту формулу удобно выводить в два шага: сначала по теореме Пифагора находят диагональ основания √(a² + b²), а затем рассматривают прямоугольный треугольник, где катеты — диагональ основания и боковое ребро c. Гипотенуза этого треугольника и есть диагональ параллелепипеда.
Полезно помнить и про площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда. Она складывается из площадей трёх пар равных граней, поэтому S = 2(ab + bc + ac). Для нашего примера с измерениями 3, 4 и 12 получаем S = 2(12 + 48 + 36) = 192. Так одни и те же три измерения позволяют найти и диагональ, и площадь поверхности тела.
Частая ошибка. Формулу d² = a² + b² + c² применяют только к прямоугольному параллелепипеду. Для наклонного или просто прямого параллелепипеда с непрямоугольным основанием она неверна, и диагональ ищут другими способами.Как строить и проверять сечение параллелепипеда
Сечение — пересечение тела и плоскости. Его стороны лежат в гранях, а вершины — на рёбрах или в вершинах тела. В невырожденном случае сечение параллелепипеда может иметь от трёх до шести сторон: у тела шесть граней, и каждая даёт не более одной стороны. Произвольное соединение заданных точек ещё не является доказанным сечением.
Пошаговый пример в кубе
Обозначим нижние вершины последовательно ABCD, верхние A₁B₁C₁D₁. Точки M,N,K — середины AB, AD и AA₁. Нужно построить плоскость через них.
- M и N лежат в нижней грани, поэтому MN — её след в плоскости сечения.
- M и K лежат в передней грани ABB₁A₁: проводим MK.
- N и K лежат в боковой грани ADD₁A₁: проводим NK.
- Полученный треугольник MNK замкнут; плоскость отсекает угол A и не пересекает остальные рёбра куба.
Проверка последнего утверждения координатами: пусть ребро куба 1, A = (0,0,0), B = (1,0,0), D = (0,1,0), A₁ = (0,0,1). Плоскость имеет уравнение x + y + z = 1/2. Внутри куба координаты неотрицательны, поэтому она пересекает только три ребра, выходящие из A. Все стороны треугольника равны половине диагонали квадратной грани: сечение равностороннее.
Параллельные грани помогают продолжить построение
Если секущая плоскость пересекает две противоположные параллельные грани по отрезкам, эти отрезки параллельны. Через известную точку на второй грани проводят прямую, параллельную уже построенному следу. Но сначала нужно доказать, что точка принадлежит секущей плоскости: одной красивой параллельности на рисунке недостаточно.
Проверка: сечение через диагональ AC основания и вертикальное ребро AA₁ куба — четырёхугольник ACC₁A₁, а не треугольник ACC₁. На верхней грани след A₁C₁ параллелен AC; на боковых — AA₁ и CC₁.
Справочные материалы: Параллелепипед — исходная тема. Связанные уроки: Параллельные плоскости, Сечение многогранника плоскостью.
Кратко о главном
- Параллелепипед — призма с основанием-параллелограммом.
- Все шесть граней — параллелограммы; противоположные равны и параллельны.
- Диагонали пересекаются в одной точке и делятся пополам.
- Точка пересечения диагоналей — центр симметрии.
- Для прямоугольного параллелепипеда:
d² = a² + b² + c².