Поворот и осевая симметрия как движения
📏 Геометрия · 9 класс
Построение образов фигур при повороте вокруг точки и симметрии относительно прямой.
Движения, сохраняющие фигуру
Движением называют преобразование плоскости, при котором сохраняются расстояния между точками. Поскольку расстояния не меняются, фигура переходит в равную ей фигуру: длины отрезков, величины углов и площади остаются прежними. Поворот и осевая симметрия — два важнейших вида движений, которые подробно изучаются в 9 классе.
Чтобы задать движение, нужно описать, по какому правилу каждая точка плоскости переходит в свой образ. Для разных движений это правило своё, но общее свойство одно: расстояния сохраняются.
Осевая симметрия
Симметрия относительно прямой (осевая симметрия) ставит каждой точке M в соответствие такую точку M', что заданная прямая (ось симметрии) является серединным перпендикуляром к отрезку MM'. Иными словами, ось проходит через середину отрезка и перпендикулярна ему.
- Точки самой оси переходят в себя — они неподвижны.
- Отрезок переходит в равный отрезок, а угол — в равный угол.
- Осевая симметрия меняет ориентацию фигуры, как отражение в зеркале.
Поворот
Поворот вокруг точки O на угол α переводит точку M в точку M' так, что OM = OM' и угол MOM' равен α. Точка O называется центром поворота и остаётся на месте. Чтобы поворот был определён однозначно, нужно указывать направление: по часовой стрелке или против неё.
Поворот на 180° вокруг точки совпадает с центральной симметрией относительно этой точки. В отличие от осевой симметрии, поворот сохраняет ориентацию фигуры.
Разобранный пример
Повернём точку A(2; 0) вокруг начала координат на 90° против часовой стрелки.
При повороте на 90° против часовой стрелки точка(x; y)переходит в(-y; x). ЗначитA(2; 0)переходит вA'(0; 2).
Проверка по расстоянию: OA = 2 и OA' = 2, длины совпали, как и должно быть при движении. Так же можно повернуть каждую вершину фигуры и соединить полученные образы.
| Движение | Что неподвижно | Ориентация |
|---|---|---|
| Осевая симметрия | точки оси | меняется |
| Поворот | центр поворота | сохраняется |
| Центральная симметрия | центр симметрии | сохраняется |
Частые ошибки. При повороте обязательно указывайте направление, иначе образ определён неоднозначно. Помните, что осевая симметрия и поворот по-разному действуют на ориентацию: отражение «переворачивает» фигуру, а поворот — нет. Ось симметрии — именно серединный перпендикуляр, а не произвольная прямая рядом.
Кратко о главном
- Движение сохраняет расстояния, а значит и форму и размеры фигур.
- При осевой симметрии ось — серединный перпендикуляр к отрезку между точкой и её образом.
- Поворот задаётся центром, углом и направлением.
- Поворот на 180° совпадает с центральной симметрией.