Призматические и пирамидальные поверхности
📏 Геометрия · 11 класс
Образование многогранных поверхностей и классификация выпуклых многогранников.
Многогранные поверхности
Многогранником называется тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников, называемых гранями. Стороны граней называются рёбрами многогранника, а концы рёбер — его вершинами. Многогранник называется выпуклым, если он целиком лежит по одну сторону от плоскости каждой своей грани. Куб, призма и пирамида — примеры выпуклых многогранников.
Призматические и пирамидальные поверхности
Понять, как устроены призмы и пирамиды, помогает идея образующей прямой. Призматическая поверхность образуется движением прямой — образующей, которая скользит по некоторой ломаной линии, всё время оставаясь параллельной самой себе. Если такую поверхность ограничить двумя параллельными плоскостями, получится призма с многоугольными основаниями.
Пирамидальная поверхность образуется иначе: образующая прямая всё время проходит через одну постоянную точку — вершину, скользя при этом по ломаной. Если ограничить пирамидальную поверхность плоскостью, не проходящей через вершину, мы получим пирамиду. Таким образом, способ движения образующей определяет, призму или пирамиду мы строим.
| Поверхность | Движение образующей | Тело |
|---|---|---|
| Призматическая | Параллельный перенос | Призма |
| Пирамидальная | Через одну точку | Пирамида |
Выпуклые многогранники
Правило: у выпуклого многогранника все грани являются выпуклыми многоугольниками, а сумма плоских углов при каждой его вершине обязательно меньше 360°. Если бы сумма равнялась 360°, грани легли бы в одну плоскость и вершины не получилось бы.
Это ограничение на сумму углов при вершине объясняет важнейший факт стереометрии: существует всего пять правильных многогранников (тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр). Для других правильных многоугольников углы при вершине либо не укладываются в 360°, либо не дают замкнутого тела.
Разобранный пример
Проверим условие выпуклости для куба, у которого при каждой вершине сходятся три квадрата.
Куб: при каждой вершине сходятся 3 квадрата.
Плоский угол квадрата равен 90°.
Сумма плоских углов = 3 · 90° = 270°.
270° < 360° — условие выпуклости выполнено.Поскольку сумма меньше 360°, грани не лежат в одной плоскости и образуют настоящую трёхмерную вершину. Так же можно проверить и другие правильные многогранники.
Частые ошибки: называют многогранником тело с криволинейными гранями, например цилиндр; считают, что у выпуклого многогранника сумма плоских углов при вершине может равняться или превышать 360°.
Кратко о главном
- Многогранник состоит из плоских граней, рёбер и вершин.
- Призматическая поверхность образуется параллельным переносом, пирамидальная — движением через одну точку.
- У выпуклого многогранника сумма плоских углов при каждой вершине меньше 360°.