Многогранники

Что такое многогранник

Многогранник — это пространственное тело, поверхность которого состоит из плоских многоугольников. Эти многоугольники называются гранями, их стороны — рёбрами, а вершины многоугольников — вершинами многогранника. В школьном курсе главные многогранники — призма, параллелепипед и пирамида.

Призма

Призма — многогранник, у которого два равных и параллельных основания (многоугольники), а боковые грани — параллелограммы. Если боковые рёбра перпендикулярны основаниям, призму называют прямой . Прямую призму с прямоугольником в основании называют прямоугольным параллелепипедом. Параллелепипед в общем случае — призма с параллелограммом в основании. Если все грани — равные квадраты, это куб.

Пирамида

Пирамида — многогранник, у которого одно основание (многоугольник), а боковые грани — треугольники с общей вершиной. Высота пирамиды — перпендикуляр из вершины на плоскость основания. В правильной пирамиде в основании лежит правильный многоугольник, а вершина проектируется в его центр. Высоту боковой грани правильной пирамиды, проведённую из вершины, называют апофемой — её не следует путать с высотой всей пирамиды.

Грани, рёбра и развёртка

У каждого многогранника есть удобная характеристика — развёртка: если поверхность разрезать по рёбрам и развернуть на плоскость, получится плоская фигура из всех граней. По развёртке наглядно видно, из каких многоугольников составлено тело, и легко вычислить площадь полной поверхности — достаточно сложить площади всех граней. Например, развёртка куба — это шесть равных квадратов, а развёртка пирамиды — многоугольник-основание с приклеенными к его сторонам треугольниками.

Тело	Объём	Площадь поверхности
Прямая призма	V = S·h	S = 2S(осн) + P·h
Прямоугольный параллелепипед	V = abc	S = 2(ab+bc+ac)
Пирамида	V = ⅓·S·h	S = S(осн) + S(бок)

Здесь S — площадь основания, h — высота, P — периметр основания. Развёртка — это все грани, разложенные на плоскости; по ней удобно считать площадь поверхности.

Пример

Прямоугольный параллелепипед: a = 3, b = 4, c = 5. 1) Объём: V = a·b·c = 3·4·5 = 60. 2) Площадь поверхности: S = 2(ab + bc + ac) = 2(12 + 20 + 15) = 2·47 = 94. 3) Диагональ: d = √(a²+b²+c²) = √(9+16+25) = √50 ≈ 7,07. Пирамида: квадрат в основании со стороной 6, высота 4. Объём: V = ⅓·S(осн)·h = ⅓·(6·6)·4 = ⅓·36·4 = 48.

Главная ошибка. В формуле объёма пирамиды забывают множитель ⅓: объём пирамиды втрое меньше объёма призмы с тем же основанием и высотой. Ещё путают высоту пирамиды (перпендикуляр к основанию) с боковым ребром или апофемой — это разные отрезки.

Поверхность составного тела: какие грани считать

Площадь поверхности равна сумме площадей наружных граней. Сначала перечислите их или сделайте развёртку, затем вычисляйте площади. Для прямоугольника это ab, для треугольника ah/2, для другого многоугольника — подходящая формула или разбиение. Все размеры должны быть в согласованных единицах; результат площади записывают в квадратных единицах.

Склеивание: общая грань исчезает дважды

Из двух кубиков с ребром 2 см составили прямоугольный брусок, склеив целые грани. У каждого кубика поверхность 6·2² = 24 см². Сумма 48 см² включает две склеенные грани, каждая по 4 см². Наружная поверхность 48 − 2·4 = 40 см². Проверка по размерам бруска 4×2×2: 2(8 + 8 + 4) = 40 см². Объёмы без перекрытия просто складываются: 8 + 8 = 16 см³.

Вырез не всегда уменьшает площадь

У куба с ребром 4 см из угла вырезали кубик 1×1×1 см, грани выреза параллельны граням большого куба. Исчезли три наружных квадрата по 1 см², но появились три внутренних стенки по 1 см². Площадь всей новой границы осталась 6·4² = 96 см², объём уменьшился до 64 − 1 = 63 см³. Нельзя вычитать из поверхности все шесть граней маленького куба.

Как проверять составную фигуру

1. Разбейте тело на части без перекрытий, чтобы найти объём.
2. Отдельно выделите общие поверхности: для площади они не становятся наружными.
3. Для отверстия посчитайте удалённые участки и новые стенки. Уточните, входит ли поверхность доступной полости в искомую площадь.
4. Проверьте результат другим способом — по размерам объединённой фигуры или по списку наружных граней.

Формулы abc и 2(ab + bc + ac) относятся к прямоугольному параллелепипеду. У наклонного параллелепипеда грани могут быть параллелограммами, и произведение любых трёх рёбер не даёт объём без дополнительных условий.

Справочные материалы: Что такое многогранник — исходная тема; Что такое многогранник — исходная тема. Связанные уроки: Параллелепипед, Сечение многогранника плоскостью.

Кратко о главном

• Многогранник состоит из граней, рёбер и вершин.
• Призма: два равных параллельных основания; объём V = S·h.
• Пирамида: одно основание и треугольные боковые грани; V = ⅓·S·h.
• Развёртка помогает находить площадь поверхности.