Измерение отрезков и углов 7 класс
📏 Геометрия · 7 класс
Основное свойство длины отрезка: если точка делит отрезок на два, его длина равна сумме длин частей. Единицы измерения, измерение углов транспортиром, градусная мера — 7 класс.
Измерение отрезков
Измерить отрезок — значит узнать, сколько раз в нём укладывается выбранная единица измерения, например сантиметр или миллиметр. Полученное число называют длиной отрезка. Длина показывает, насколько отрезок протяжённый, и всегда выражается положительным числом.
Равные отрезки имеют равные длины, а из двух отрезков больший имеет большую длину. Если изменить единицу измерения, числовое значение длины изменится, но сам отрезок останется прежним. Поэтому при записи длины всегда указывают единицу: сантиметры, миллиметры или метры.
Основное свойство длины
Свойство. Если точка лежит между двумя другими точками отрезка, то длина всего отрезка равна сумме длин его частей.
Это свойство называют свойством аддитивности: целое равно сумме частей. Оно позволяет находить длину части отрезка, если известны длина целого и длина второй части.
Измерение углов
Измерить угол — значит узнать его величину в градусах с помощью транспортира. Градус — это часть развёрнутого угла, делённого на 180 равных долей. Величина угла, как и длина отрезка, выражается положительным числом и не зависит от длины его сторон.
| Вид угла | Величина |
|---|---|
| Острый | меньше 90° |
| Прямой | равен 90° |
| Тупой | от 90° до 180° |
| Развёрнутый | равен 180° |
Свойство. Если луч выходит из вершины угла и проходит внутри него, то величина всего угла равна сумме величин двух полученных углов.
Это свойство углов полностью повторяет свойство аддитивности длины и применяется так же часто.
Разбор примера
На отрезке AB длиной 12 см отмечена точка C, причём AC = 5 см. Найдём длину CB.
По свойству длины AB = AC + CB, поэтому CB = 12 − 5 = 7 см.
Аналогично работают и с углами. Если угол равен 80°, а проведённый внутри него луч отсекает угол 30°, то второй угол равен 80 − 30 = 50°. Эти два примера показывают, что отрезки и углы измеряются и складываются по одному и тому же правилу. Свойство сложения работает и при большем числе частей: если отрезок разбит несколькими точками, его длина равна сумме длин всех получившихся кусков. Точно так же, если угол разбит несколькими лучами, его величина равна сумме всех меньших углов.
Частые ошибки. Длина отрезка и величина угла всегда положительны. При сложении частей точка должна лежать между концами отрезка, а луч — проходить внутри угла. Если луч лежит вне угла, свойство сложения не применяется.
Отложить величину — не то же самое, что измерить
При измерении дан отрезок, а найти нужно его длину. При откладывании, наоборот, дана длина, а найти нужно положение конца отрезка. От начала луча можно отложить отрезок заданной положительной длины, и его конец определяется единственным образом.
Например, на луче OA нужно отметить B так, чтобы OB = 4 см. При выбранных начале и направлении луча возможна одна точка B. Если вместо луча дана вся прямая и её точка O, на прямой будут две точки на расстоянии 4 см от O — по разные стороны. Это не противоречит единственности: изменилось условие.
Почему для угла указывают полуплоскость
От данного луча в выбранную полуплоскость откладывается единственный угол заданной меры от 0° до 180°, не включая концы этого интервала. Для угла 55° без указания полуплоскости можно получить два зеркальных положения второй стороны. Поэтому запись «построим угол 55°» дополняют словами «над прямой AB» или «в полуплоскости, содержащей C».
- Назовите вершину O и начальный луч OA.
- Выберите сторону прямой OA, где должна лежать вторая сторона.
- Отложите заданный угол; при работе транспортиром выберите шкалу от нуля на OA.
- Обозначьте второй луч и проверьте, что он оказался в нужной полуплоскости.
Самопроверка
На одном луче от O отложены OM = 3 см и ON = 7 см. Тогда M лежит между O и N, поэтому MN = 7 − 3 = 4 см. Если M и N отложены на противоположных лучах, расстояние MN = 3 + 7 = 10 см. Одни числа без взаимного расположения точек ответа не определяют.
В классической задаче циркулем и линейкой переносят заданный отрезок или угол без числового измерения. Транспортир и линейка с делениями подходят для учебного чертежа по числам, но не заменяют разрешённые действия в задаче на построение.
Справочные материалы: Измерение отрезков — исходная тема. Связанные уроки: Аксиомы геометрии, Что такое задачи на построение.
Кратко о главном
- Длина отрезка показывает, сколько единиц в нём укладывается.
- Длина целого отрезка равна сумме длин его частей.
- Угол измеряют в градусах с помощью транспортира.
- Развёрнутый угол равен
180°, прямой —90°. - Величина угла равна сумме величин углов, на которые его делит внутренний луч.