Сечения многогранников
📏 Геометрия · 11 класс
Построение сечений, сечения плоскостями, параллельными граням.
Что такое сечение многогранника
Сечением многогранника называют многоугольник, который получается, когда секущая плоскость пересекает многогранник. Стороны этого многоугольника — это отрезки, по которым плоскость пересекает грани. Представьте, что вы разрезаете деревянный кубик ножом по прямой: плоскость среза и есть секущая, а контур на срезе — сечение. Умение строить сечения — одна из ключевых задач стереометрии в 11 классе.
Главные правила построения
Построение опирается на два факта: две плоскости пересекаются по прямой, и через две точки проходит единственная прямая. Отсюда следуют рабочие приёмы:
- Если две точки сечения лежат в одной грани — соединяем их отрезком.
- Сечение пересекает параллельные грани по параллельным прямым.
- Чтобы продолжить построение, ищут след — линию пересечения секущей плоскости с плоскостью грани или основания.
Сечения, параллельные граням
Особенно простой случай — когда секущая плоскость параллельна грани. Тогда сечение подобно этой грани. Например, сечение куба плоскостью, параллельной основанию, — это квадрат, равный основанию; а у пирамиды такое сечение даёт меньший подобный многоугольник. Коэффициент подобия равен отношению расстояний от вершины: если плоскость прошла на середине высоты пирамиды, стороны сечения вдвое меньше сторон основания, а площадь — вчетверо меньше.
Форма сечения сильно зависит от того, как именно проходит плоскость. Один и тот же куб можно рассечь так, что в сечении окажется треугольник, прямоугольник, пятиугольник и даже правильный шестиугольник — всё определяется тем, какие грани задевает плоскость. Поэтому первым делом полезно понять, через какие именно грани проходит секущая, и только потом аккуратно соединять точки.
| Тело и плоскость | Форма сечения |
|---|---|
| Куб, параллельно грани | равный квадрат |
| Куб, через диагональ | прямоугольник |
| Куб, через три ребра | правильный шестиугольник |
| Пирамида, параллельно основанию | подобный основанию многоугольник |
Пример решения
Построим сечение куба ABCDA₁B₁C₁D₁, проходящее через точки A, C и B₁.
1) Точки A и C лежат в нижней грани — соединяем их: получаем отрезок AC.
2) Точки A и B₁ лежат в грани ABB₁A₁ — соединяем: отрезок AB₁.
3) Точки C и B₁ лежат в грани BCC₁B₁ — соединяем: отрезок CB₁.
4) Получился треугольник AB₁C.
5) Все три стороны — диагонали равных квадратных граней, значит они равны.
Ответ: сечение — равносторонний треугольник AB₁C.Частые ошибки. 1) Соединяют точки, лежащие в разных гранях, проводя «отрезок сквозь тело» — так нельзя, стороны сечения идут только по граням. 2) Забывают свойство параллельных граней и рисуют непараллельные стороны. 3) Не достраивают след и обрывают сечение. 4) Путают сечение (плоский многоугольник) с самим разрезанным телом.
Кратко о главном
- Сечение — многоугольник, по которому плоскость пересекает многогранник.
- Две точки в одной грани всегда можно соединить отрезком.
- Параллельные грани секущая плоскость пересекает по параллельным прямым.
- Сечение, параллельное грани, подобно этой грани.
- Для сложных построений ищут след плоскости на гранях и основании.